CLEC投資理財資料庫槓桿基金、現金 QQQ SPY資產組合 風險與回報monte_carlo_sim_cagr
槓桿基金、現金 QQQ SPY資產組合 風險與回報monte_carlo_sim_cagr
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文件正文
各資產類別/組合的蒙地卡羅模擬結果分析
前言
過去歷史的演變過程,僅僅是隨機程序中的一種情境。想要探討一個隨機事件各種發展路徑的結果,採用蒙地卡羅模擬(Monte Carlo simulation)是非常良好的工具。
下文蒙地卡羅模擬的樣本來源起始年份是2008年初,這是因為受限於二倍槓桿基金QLD的發行年份。結尾年份是2022年末,而非2023年末,是為了避免過於樂觀的結果。
以下觀察的重點會是平均年化成長率(Compound annual growth rate, CAGR),以及最大回撤比例(Maximum draw down, MDD),並且數字都不經過通貨膨脹率調整。投資的長期風險來自於過低的CAGR,若是績效不彰甚至落後於長期通貨膨脹率,這將會導致實質購買力縮水,最終社會階級向貧窮方向滑落。投資的短期風險來自於過高的MDD,巨幅的回撤若是導致投資信心不足,進而出脫資產將會造成永久損失;此外,若是現金流的來源仰賴已投資資產,除了下跌造成巨大心理壓力外,若是執行股票質押借款,則可能因為跌幅過大,而被資金提供方給強迫清盤離場!
本文為整理portofolio visualizer的模擬結果,為了方便比較,故採箱形圖(box chart)呈現。其中盒子的下緣、上緣分別是第一四分位數(1st quatile, Q1)、第三四分位數(3rd quatile, Q3),中間的橫線為中位數(median)。盒子的下延伸線、上延伸線的邊緣分別是第10百分位數(10th percentile)、第90百分位數(90th percentile)。直觀來說,由下而上五個標記點分別表示五種發展路徑,各自呈現最倒楣的投資人、不太幸運的投資人、普通的投資人、幸運的投資人,和最幸運的天選之人他們的投資成果。
雖然箱形圖可以方便各資產、不同持有時長之間的對比,但是箱形圖無法呈現出模擬結果之機率分佈的真實情況。幸虧箱形圖還是足以幫助我們瞭解一些數據的特性,包括觀察盒子的寬度也就是四分位距(inter-quatile range, IQR)反映了數據的變異性,另外觀察中位數是否位於盒子中心、盒子距離上下延伸線邊緣是否等距離,都可以反映數據的分佈是否具有偏態。
最後,必須強調蒙地卡羅模擬無法得知未來所有的發展結果,只能顯示出未來可能的許多種發展結果,所以箱形圖中每個節點的實際數值並不重要。重點是各種資產類別或是組合的比較,以及不同持有時長的比較,從這些比較中獲得一些啟發。此外模擬的輸出極受原始樣本的分佈傾向所影響,所以接下來會先以SPY的歷史資料,對比模擬結果以評價模擬的可靠性。
SPY vs TLT vs CASH首先觀察下圖JPMorgan提供1950-2020之歷史資料,草綠色的股市回報率分佈不論滾動5年、滾動10年、滾動20年,基本上都涵蓋於圖一(a)中SPY的CAGR箱形圖(含延伸線)內,由此推斷取2008年初至2022年末的資料作為模擬分析的母數,不失廣泛適用性而具有參考價值。
圖一首先可以觀察到CASH(定期存款、1-3月短期國庫劵)最特別的就是,不論持有時長多少,其MDD恆為0。因為這特性相較於投資股票需承受可能下跌的不確定性,也就不難理解為何許多人寧可持有現金而不投資。但是持有大部位現金而不願意積極投資的風險趨避者,其實忽視了難以承擔的長期風險—過低的CAGR,避開短期風險其實也必將錯失回報,變相將自己推向貧窮的一端。
接下來觀察SPY,可以注意到只要持有超過15年,即使是模擬結果CAGR其中最惡劣的10%,也能擁有正報酬。此外,也可以發現投資成果的變異性(最佳回報與最差低回報的落差),經由拉長投資年限將會使之顯著縮窄:最好的結果會逐漸向下收斂、最差的結果會逐漸向上靠攏。
這說明了投資是公平的,最幸運的投資者和最倒楣的投資者,經過逐漸加長的投資年限,他們二者之間可以獲得的平均回報差距應該可以小到令所有人滿意。另外SPY的MDD,隨著時間增加則可能遭遇的跌幅也越大,而投資人正是因為勇於承擔這樣的下跌而獲得回報。例如SPY持有25年的期間,若市況不佳則可能的MDD超過-60%,但無論是投資25年的初期或是後期遭遇這樣的跌幅,終究CAGR依然約有4%,可見無論何時,下跌絕不是賣出股票的原因。
在圖一當中,最令人感到詫異的是,長期債劵基金TLT即使持有長達25年,依然可能有負報酬的情形。而且除了CAGR的中位數僅約4%外,其MDD的箱形圖分佈整體寬幅都略大於SPY的MDD,盒子也都位於更下方—更大的潛在跌幅。TLT的表現讓持有者同時麵臨長期風險及短期風險,而無相應回報,並不是理想的投資標的。
SPY vs QQQ vs QLD這裡想要比對SPY與QQQ及其單日二倍做多的槓桿ETF,並且研究如果看好長期上漲,是否應該全倉投入(all-in)槓桿ETF?
觀察圖二中,QQQ的CAGR箱形圖均位於比SPY更上方位置(更高回報),但是QQQ的MDD箱形圖均位於略比SPY更下方位置(更高下挫),這意味著雖然二者均為分散投資從而避免非系統性風險,但SPY額外增加了400家股票仍可獲得更好的下跌保護,而若除去這額外400家股票則可以獲得更好的CAGR回報。此外,QQQ的盒子都略長於SPY的盒子,這表示機運的作用在QQQ上的影響,只是略高於作用在SPY上。運氣差的人投資了QQQ而落後運氣好的人投資了QQQ的程度,只略高於運氣差的人投資了SPY而落後運氣好的人投資了SPY的程度。但是運氣最差的人選擇投資了QQQ,長期來說其平均回報優於選擇投資於SPY。
QLD的CAGR箱形圖5年的盒子上緣是爆表的58%,這使得許多人趨之若鶩;但5年的延伸線下緣同樣也是爆表的-16%,這就是有人棄如敝屣的原因。QLD的CAGR盒子寬度大約都是QQQ的兩倍,也就是說雖然槓桿的作用提高了平均回報的中位數,不過更是顯著提高了變異性,換言之,機運發揮的作用更明顯了:幸運地買在低點的人將獲得無上的平均年回報率,但不幸運的人若買在泡沫頂點則即使持有長達20年,依舊無法得到正報酬,很難想像這會有多麼折磨投資人的心智!雖然QLD的CAGR也有隨著拉長投資年限,而逐漸收窄變異性的趨勢,但是收斂的速度可能慢得令人無法忍耐。另外觀察QLD的MDD箱形圖,在25年的投資期間內的任意時刻內,有可能遭遇-98%這樣災難性的下跌,初期遇到此災難或許還能東山再起,但若是後期才遭遇此災難那就有如走在幽暗的隧道內,不知何時才能重見陽光?不可不慎!
此處延伸討論一點,假若各個單年分的報酬率可以視為獨立的隨機變數,那麼根據中央極限定理可以得知,長期投資下的平均(幾何平均)年回報率會是具有對數常態分配(Log-normal distribution)的隨機變數。當採取單日二倍做多的方式放大波動率時,也必然放大平均年回報率之標準差,這將使得原本就非對稱的分佈產生更明顯的偏態(skewness),如右圖中的藍線變成紅線就是偏度放大的結果。但這個預期的偏度放大並沒有在模擬中於箱形圖顯現出來。高偏態意味少數極端事件獲得了極高的平均年回報,但是絕大多數事件發展路徑遠低於此,典型的極端案例就是樂透彩的彩金分配結果。
QQQ vs Case1 vs 50/50槓桿ETF的真實功用-與現金互補:現金可彌補QLD的巨幅MDD,QLD可彌補現金差勁的CAGR。底下營造了一種狀況,某位投資人為了某些原因而必須保留現金(作為緊急備用金、擔保品借貸等等),那麼只要將與現金同比例的資金投入二倍槓桿ETF,並且每年經過漲跌後,定期無腦地將槓桿ETF和現金重新調整回1:1,就可以解決了現金投資效率滯後(cash drag)的問題。
圖三的紅色箱形圖就是QQQ:QLD:CASH=60:20:20的狀況,預期這樣的波動率(beta, β)正好等效於100% QQQ的波動率。可以發現其CAGR的盒子寬度幾乎等於100% QQQ,且盒子整體還微微地上方一些-可能有略好的平均年報酬,但這種配置狀況的MDD顯然繼承了來自QLD的特性,而具略高的MDD跌幅。其實這不難明白,因為歷經連日漲跌之後, QQQ:QLD:CASH的比例必定偏移,當QLD上漲時則QLD比例加重,這表示未來可能麵臨較大跌幅,直到重新再平衡即可消除此問題。
若進一步提高現金比例呢?按照上述規則,極限就是QLD:CASH=50:50。可以發現其CAGR的盒子寬度依然幾乎等於100% QQQ,且盒子整體還更略為上方一些,但是這次的MDD則因為現金比例提高而發揮作用,這個配置的MDD得到了比100% QQQ 還小的變異性,盒子也更上方表示整體比100% QQQ 略小的跌幅。看起來似乎是同時得到較小短期風險、又能得到較優長期回報雙重優勢的配置方式,不過此時仍要回到源頭重新思考為何要配置如此高比例的現金呢?高比例的現金在手可能導致各種因為貪婪/恐懼而產生的行為偏誤:股市漲得多而想要追高、股市跌得深而想要抄底、股市跌更多而不敢依計畫再平衡;又或是隨著高比例的槓桿ETF部位之波動,而導致錯誤地停利或停損等等。又即使紀律嚴明地克服了心魔,使再平衡計畫仍如預期進行,因為高比例的現金和高比例槓桿ETF進行再平衡,終究逃不過更高昂的交易手續費,或是包括資本利得稅。另外,如果進行股票擔保品借貸時,需要考慮資金提供方未必可以接受以槓桿ETF作為擔保品,但現金、原型指數基金則較不會有這個疑慮。
QQQ vs beta1.2 vs 60/40資訊科學家給賭徒的建議:凱利公式,這個計算原則是在已知平均回報率的期望值(扣除無風險利率)、標準差的前提下,為了獲取長期連續博弈的最高平均回報率應該下注的比例。過去曾有研究,應用上述原則分析針對 S&P500 的建議投資比例是117%,這表示 all-in 還不足以獲得最佳的平均年回報率,應該還要借貸以獲得額外17%的原始資金,在這樣的槓桿操作下才能得到預期最佳的平均年回報率。但是借貸除了需要利息成本外,往往需要先擁有優質擔保品,或是足夠良好信用才可獲得資金,那麼是否有其他方式可以做到等效117%的投資呢?
圖四的紅色CAGR箱形圖是依照QQQ:QLD:CASH=60:30:10之比例配置,預期波動率是QQQ的120%倍。結果可以發現紅色 CAGR中位數約比QQQ的CAGR中位數多2%,另外超過10年之箱形圖下延伸線的邊緣幾乎切齊QQQ的下延伸線邊緣,但是箱形圖的上延伸線或盒子上緣都高過QQQ。對此的解讀是,利用現金和二倍做多槓桿基金的比例調整,使得波動率放大之後,不但並未降低預期最低平均年報酬率,卻可以使得預期最高平均年報酬率提高,難道天下有白吃的午餐嗎?觀察紅色MDD箱形圖就會發現,波動率放大之後的盒子均比原始QQQ還下方,換言之,無論何時這個配置都要承受比QQQ高的下挫幅度,這就是想要獲得高報酬的代價。
前麵一小節中,提高現金比例而減低MDD的效果,在此處依然有效。在預期波動率為120%倍於QQQ時極大化現金比例,就會得到QLD:CASH=60:40這樣的配置。從CARG箱形圖中可以發現,黃色盒子整體約略等寬、等高於紅色盒子;再看MDD箱形圖,可以看出來黃色盒子比紅色盒子位於上方,也就是說提高現金比例後,在不減損回報率的前提下,確實地減低了最大下挫幅度。
這裡可以先做出小結,槓桿基金是一個強大工具,可以用於與原型指數基金、現金做比例搭配,省去借貸或是操作其他衍生性金融商品的複雜,輕鬆就能調整到想要的槓桿倍率!若把原型指數基金比喻為牛排,現金與槓桿基金就好比鹽巴與鬍椒,適當調配會使得牛排更加美味,但是不會有人想在牛排館單點鹽巴或是鬍椒的!
QQQ vs 60/40 vs 60/40(TLT) TLT雖然並非總是與股市成反向關係,但是考慮其與股市長期呈低度相關,一直都是傳統股債平衡資產配置中的熱門選項。若是用TLT取代配置中現金部位,會有何效益?
一如既往,從圖五CAGR的箱形圖來看,再次重現了這樣的效果:黃色箱形圖下延伸線的邊緣切齊或高於QQQ的下延伸線邊緣,箱形圖的上延伸線或盒子上緣都高過QQQ。現金改為TLT之後,不但略略提高預期最低平均年報酬率,還可以使得預期最高平均年報酬率再度提高。同樣地,天下沒有白吃的午餐,獲得更高回報的代價就是要承擔更高的MDD-MDD箱形圖中黃色總是比藍色、紅色還要更下方。不論QQQ之於SPY,或是120%波動率的配置之於原型QQQ ,以及這裡所探討TLT取代現金的方式,都是以較大的MDD換取較大的CAGR。簡言之,高報酬必然高波動,這只是透過調整 β 對應的效益,無法有超額報酬(α)。
回到牛排的比喻,這次鹽巴(現金)換成調味鹽(TLT),雖然使口味更美,但卻未必人人能接受的!
結語本文首先展示了現金、TLT、QLD各自的風險,像是包括了低成長低回報,或是高度變異性使得輸贏全憑運氣等等。但是,這些單獨使用會有各自問題的資產類型,經過比例調配之後的組合就能得到一些十分有趣的特性。還是回到一句老話,投資可不能看著後視鏡開車,除了凱利公式所需要的變數其實屬於未知,所以最佳的投資槓桿倍率無法得知之外;還有雖然蒙地卡羅模擬法的分析方式已經非常客觀,但是畢竟只取了有限時間段內的數據來分析,當黑天鵝降臨時,那樣的事件往往不是資料統計上可以觀察到的!
關於投資本就千變萬化,假如加入槓桿基金就有更多可能性了!本文旨在提出一種觀察視角,可以多增加一些背景知識,畢竟我認為投資當中,最大的危機不是下跌,而是無知造成的後果:冒了巨險而不自知,或是不知不肯冒險的下場。
最後是一旦有了資產配置,就會有再平衡的需要。再平衡的手法也並非只能定期地、無腦地按照原始比例重新分配,可以有其他戰術性的做法,涉及這些比較複雜的操作,模擬起來也就更為困難,那就超過在本文的分析範圍外了。
Peta Hung, 2024.10.19
