CLEC投資理財資料庫2x 和 3x 槓桿
2x 和 3x 槓桿
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摘要
使用管理波動率實現 Alpha 生成與風險平滑
Tony Cooper
Quantitative Analyst
Double-Digit Numerics
2010 年 8 月 6 日
預測股票市場報酬很困難，但預測市場波動率相對容易。不過，波動率預測並不容易直接轉化為報酬預測，因為二者大體上並不相關。本文提出一個框架，生成一個讓報酬成為波動率函式的公式，從而使報酬在一定程度上變得更可預測。我們顯示，該策略能夠產生超額報酬，讓我們獲得槓桿的上行好處，同時避開其下行弊端。
作為副作用，該策略還會平滑波動率隨時間的變化，降低日報酬的峰度，降低最大回撤，並提供一個動態擇時訊號，用於在保守資產與進取資產之間傾斜資產配置。
有人說，分散化是投資中唯一的免費午餐。看起來，一旦你透過分散化消除了一部分風險，還可以透過平滑剩餘風險再得到一頓免費午餐。
關鍵詞和短語：波動率擇時、波動率的波動率、極端波動率、波動率拖累、管理波動率、連續動態槓桿、槓桿型交易所交易基金、Alpha 生成、峰度、最大回撤。
JEL 分類：C22、C5、G1。www.ddnum.com。本文與獲得 NAAIM Wagner Award（naaim.org/wagneraward.aspx）的論文相比，標題有所改變，文字有少量改進，並新增了關於最大回撤和峰度的章節。感謝 Aaron Brown 和 Florin Spinu 的相關評論。
1 引言
無論你是否相信有效市場假說，預測市場報酬都很困難（Ferson、Simin 和 Sarkissian 2003），而市場波動率顯然是可以預測的（Poon 和 Granger 2003）。Fischer Black（Miller 1999）認為，估計變異數比估計預期報酬容易幾個數量級。這個結論並不違反市場有效性，因為準確預測波動率並不與標的資產和選擇權價格正確相沖突。
本文的目的，是利用波動率的可預測性來產生超額報酬，即在按風險調整後高於市場的報酬。要讓這種預測有用，波動率本身必須是會波動的。
本文其餘部分結構如下。下一節給出每日槓桿報酬複利的數學表示式，由此得到啟發投資策略的公式。接下來的兩節討論波動率的波動率這一概念，並介紹利用該概念的策略。隨後一節是本文主體，討論計量經濟結果。最後一節總結實證發現、得出結論，並指出未來研究方向。除 1885 年至 1962 年的美國股市資料來自 Schwert（1990）（使用資本指數）之外，所有指數資料均來自 Yahoo.com。我們用 S&P 500 指數擴充套件該資料集，得到截至 2009 年的價格序列。
2 槓桿的簡化數學
為了介紹波動率拖累這一關鍵投資概念，並說明槓桿如何運作，我們從一個涉及槓桿型交易所交易基金（ETF）的例子開始。
2.1 槓桿型交易所交易基金的定義
槓桿型 ETF 是旨在放大某個指數每日波動的基金。例如，在雙倍槓桿基金（2x 基金）中，如果指數上漲，基金就上漲該幅度的兩倍。放大倍數在 ETF 的招募說明書中規定，並且是一個固定常數。典型值包括 1、1.5、2 和 3，也會使用 -3、-2 和 -1 等負倍數。例如，如果某 ETF 承諾提供 S&P 500 指數 2 倍的報酬，那麼當 S&P 500 指數一天上漲 1.2% 時，該 ETF 將上漲 2 x 1.2% = 2.4%。
這個定義的關鍵點在於：報酬是每日對標基準計算的，而不是每年計算。這會讓投資者困惑，因為每日槓桿倍數並不會在 ETF 年報酬或複合報酬上轉化為同樣的倍數。槓桿型 ETF 的動態比簡單地給報酬乘以一個倍數更復雜，而正確公式正是我們波動率策略的關鍵。
2.2 關於長期持有槓桿型 ETF 的迷思
槓桿型 ETF 讓許多投資者困惑，原因在於算術報酬與複合報酬之間的差異，以及波動率拖累的影響（下文解釋）。一個常見迷思是：
槓桿型 ETF 不適合長期買入並持有。
這種迷思有多種表達方式。網際網路上關於槓桿型 ETF 的一些說法包括：“不適合買入並持有投資”、“槓桿型 ETF 註定會惡化”、“隨著時間推移，複利會殺死它”、“槓桿型 ETF 近乎瘋狂”、“槓桿 ETF 有毒”、“槓桿 ETF 是個糟糕的想法”、“幾乎保證虧損”、“長期來看投資者幾乎肯定會虧錢”、“任何長期持有這些基金的人都是沒有受教育的笨蛋”、“槓桿型 ETF 會漏水”、“警告：槓桿和反向 ETF 會殺死投資組合”。甚至有文章把這些 ETF 與豬流感作比較。
這種迷思的常見解釋是，波動率會侵蝕長期報酬。如果這是真的，那麼非槓桿基金也不適合買入並持有，因為它們同樣承受波動率。我們需要更仔細地考察波動率的影響。
2.3 波動率拖累
每日波動率會損害槓桿型 ETF 的報酬，包括 1x 槓桿的 ETF。這源於等式：
(1 - x)(1 + x) = 1 - x²
假設市場先下跌 x，第二天又上漲 x。例如市場先跌 5%，再漲 5%。那麼淨結果是市場變為 (1 - 0.05) 乘以 (1 + 0.05) = 0.9975，也就是下跌 0.0025 或 0.25%。這看起來並不公平。市場跌了 5% 又漲了 5%，但我們這個 1x 槓桿 ETF 卻下跌了 0.25%。
這種下跌總會發生，因為 x² 永遠為正，而它前麵的符號為負。因此，只要市場有波動，我們就會損失資金。我們稱這種損失為波動率拖累。x 越大，x² 越大，波動率拖累也越大。對於槓桿型 ETF，槓桿會放大 x，因此也會放大波動率拖累。即使是 1x 槓桿 ETF，也有波動率拖累。
這個迷思來自一種信念：只要時間足夠長，波動率拖累會把任何槓桿型 ETF 拖向零。但我們知道，1x 槓桿（即沒有槓桿）可以永遠安全持有，儘管 1x 槓桿也存在波動率拖累。如果 1 倍槓桿是安全的，那麼 1.01 倍槓桿安全麼？1.1 倍安全麼？2 倍有什麼特殊之處？你打算在哪裡劃定安全與不安全的界線？
注意，即使股票按對數方式波動，而不是按算術方式波動（因此 (1 - x) 和 (1 + x) 的變化並非同等可能），我們仍然會得到波動率拖累，因為它來自波動率本身，而不是波動率的具體性質。
2.4 市場樣本資料
Figure 1 顯示了可追溯到 1885 年 2 月 16 日的 135 年美國指數日價格。該指數的構建見 Schwert（1990），使用的是資本指數（不再投資股息）。來自 Yahoo.com 的 S&P 500 資料被用來將資料擴充套件到 2009 年。
橙色圓點顯示常見槓桿率 1、2、3 以及在可見處的 4。可以看到，把槓桿從 0 增加到 1，會如預期提高年化報酬。但隨後，與迷思傳播者所說相反，進一步增加槓桿仍然會繼續提高報酬。
槓桿值 1 並沒有魔法。沒有數學理由說明報酬會在這個槓桿水準突然趨平。我們可以看到，當槓桿達到約 2 時，報酬確實開始下降。這就是波動率拖累的影響。迷思傳播者忘記了，決定槓桿型 ETF 報酬的因素有兩個：基準報酬和基準波動率。如果基準有正報酬，那麼對它進行槓桿敞口是有利的，並能補償波動率拖累。由於報酬是槓桿的倍數，而拖累是槓桿平方的倍數，因此拖累最終會壓倒透過槓桿獲得的額外報酬。因此，可使用的槓桿量存在上限。
報酬加速與波動率拖累之間的權衡，以及對這種權衡的管理，構成了我們波動率策略的基礎。
2.5 ETF 長期報酬公式
槓桿型 ETF 的長期複合年增長率公式，不能只用基準報酬和波動率來寫出。它還涉及包含基準偏度和峰度的項。該公式透過泰勒級數展開推導得到（細節可向作者索取）。它不像使用 Ito 引理推導的公式那樣假設基準報酬服從高斯分佈或報酬是連續的。
但事實證明，對於世界股票市場以及較低槓桿水準（約 3 以下），該公式可以用下式近似：
R = kμ - 0.5k²σ² / (1 + kμ) (1)
其中，R 是 ETF 的複合日增長率，k 是 ETF 槓桿（不一定是整數，也不一定為正），μ 是基準的平均日報酬，σ 是基準日報酬的日波動率（即標準差）。R 是用來計算 ETF 長期買入並持有報酬的量。可以從公式看到，如果波動率為零，則 R = kμ，因此 ETF 報酬是基準報酬的 k 倍。
0.5k²σ² / (1 + kμ) 這一項就是波動率拖累。由於 k²σ² 永遠為正，且 (1 + kμ) 總是接近 1，因此波動率拖累總是正的。R 是 k 的二次函式，平方項係數為負。這意味著我們總會得到 Figure 1 中顯示的拋物線形狀，並且總會在某個 k 值處取得最大值。簡單代數表明，在 kμ 很小時，最大值大約出現在：
k = μ / σ² (2)
這清楚顯示了決定最優槓桿的報酬/波動率權衡。這個公式以適當形式出現在 Kelly Criterion（Thorp 2006）和 Merton 的投資組合問題（Merton 1969）中。它在這裡作為最佳化結果出現並不令人意外。
2.6 看幾個股票市場
讓我們在 Figure 2 中看看其他市場和時間框架。模式非常清楚。在不同市場和不同時間段中（大多是最近二十年左右），除 Nikkei 225 外，最優槓桿約為 2。
2.7 槓桿型 ETF 費用
不幸的是，確實可能存在不長期持有槓桿型 ETF 的理由，但它與波動率拖累無關，而是費用。
大多數槓桿大於 1 的槓桿型 ETF 會收取約 1% 的年費。這會給 ETF 施加“費用拖累”。此外，槓桿型 ETF 還會遭遇跟蹤誤差。它們並不是每天都能精確達到目標日報酬。透過研究一些槓桿型 ETF 可以觀察到，跟蹤誤差是一種複雜誤差，超出本文範圍。但跟蹤誤差較小，本文予以忽略。
如果將 0.95% 的年費（近期槓桿型 ETF 的典型值）按日應用，會從 ETF 年報酬中減去 0.95%。對於 1885 至 2009 年的資料，這項費用會把 2x 槓桿 ETF 的報酬降低到與 1x 無費用 ETF 相同。也就是說，所有槓桿報酬都被損失掉了。對於其他市場和較短時間框架，費用沒有這麼具破壞性。最優槓桿仍然約為 2，而且即便扣除費用，2x ETF 在幾十年內仍跑贏基準。
2.8 槓桿型 ETF 的風險
只要市場有足夠報酬克服波動率拖累，槓桿型 ETF 就可以長期持有。通常市場確實如此。對近來的大多數市場而言，最優槓桿約為 2。但某些市場和時間框架會獎勵高達 3 的槓桿。沒有市場會獎勵 4 倍槓桿。因此，看起來使用槓桿型 ETF 增強報酬是個好主意。
但事實並非如此，原因如下：
槓桿型 ETF 不產生 alpha。任何放大報酬的槓桿都會以相同倍數放大波動率。因此，風險調整後報酬並沒有提高。
當從左側接近拋物線頂點時，我們在增加槓桿，也就是增加波動率，但得到的額外複合報酬並不多。而越過頂點後，我們是在增加波動率並損失報酬。這很危險，因為我們並不知道未來市場中頂點的確切位置，因此會承擔負 alpha 的風險。
槓桿型 ETF 麵臨歸零風險，也就是損失全部投入資金。
因此，要有效使用槓桿型 ETF，我們希望儘可能靠左投資，並密切關注波動率，避免偏到右側。這正是波動率的波動率發揮作用的地方。
3 波動率與波動率的波動率
最優槓桿 k = μ / σ² 給出 R 的最優值。對於 Figure 2 中各市場的圖表，μ 和 σ 是 ETF 生命週期內的均值。但在現實中，μ 和 σ 並不被視為常數，而可以合理地看作隨時間變化。因此，k 的最優值似乎也很可能隨時間變化。我們能否足夠好地預測 μ 和 σ，以估計即將到來的短期未來中的最優 k 值？
我們無法輕易預測 μ，而且無論如何這也超出了本文關於波動率的討論範圍。這是一個動態資產配置問題，其中我們希望在以天或月等離散時間間隔作出決策的情況下，最大化某種終值財富度量。這是一個動態隨機規劃問題（Samuelson 1969），但給出其最優解超出了本文範圍。相反，我們給出解決該問題可能帶來報酬的一個指示。
3.1 EGARCH(1, 1) 波動率預測
σ，即日波動率，是一個可以逐日變化的隨機變數。它被定義為價格波動的瞬時標準差。衡量波動率並不像衡量價格那樣直接。它需要衡量一段時間內的價格變化，但在所衡量的時間間隔內，波動率本身可能已經發生變化。例如，如果只能觀察到每日收盤價，那麼為了得到合理的標準差度量，就需要觀察 10 天內的 10 個價格。但在這 10 天中，波動率本身肯定已經變化。因此，瞬時波動率不可觀察。瞬時波動率只能在模型語境中估計。
我們將使用 EGARCH(1, 1) 模型進行波動率預測，因為它是相對標準的選擇，而且 Poon 和 Granger（2003）報告的研究顯示，它優於其他方法，尤其是在用於市場指數時。為我們的目的尋找最佳方法超出了這篇說明性論文的範圍，因此一種指示性方法已經足夠。EGARCH(1, 1) 模型為：
log(σ²_t) = m(1 - β) + β log(σ²_{t-1}) + α(|ε_{t-1}| / σ_{t-1}) + γ(ε_{t-1} / σ_{t-1}) (3)
該模型把第 t 天的對數變異數 log(σ²_t) 建模為長期對數變異數 m、前一天對數變異數 log(σ²_{t-1})，以及前一天報酬 ε_{t-1} 的絕對值（為保持一致性，用前一天波動率 σ_{t-1} 縮放）的加權平均。γ 項是修正項，允許負的日報酬傾向於給日波動率增加正值這一事實。在估計 m、α、β 和 γ 後，我們可以根據第 t - 1 天計算出的數量來估計第 t 天的波動率。儘管波動率不是一個可直接觀察的量，這種方法仍能為第 1 至 t 天給出波動率估計。而且，我們還可以代入第 t 天計算出的值來預測第 t + 1 天的波動率。
Figure 3 顯示了 1950 至 2009 年 S&P 500 日波動率的 EGARCH 估計。左側圖表顯示波動率估計，右側圖表顯示對數尺度下的估計。很明顯，波動率的對數比原始波動率更對稱，也較少“尖峰化”。這為我們在 Equation (3) 中使用對數估計器，而不是直接估計 σ²_t 的估計器，提供了理由。
3.2 波動率的波動率
Figure 3 中圖表的一個特徵是，波動率估計會隨時間變化。最可能的原因是被估計的實際波動率隨時間變化。我們將波動率的波動率（簡稱 vovo）定義為第 t = 1 至 n 天的日波動率 σ_t 的標準差，其中 n 表示觀察天數。於是，出於本文目的，我們將用 EGARCH(1, 1) 日波動率估計值的標準差這一直觀合理的方式來估計 vovo。考察該估計器的統計性質超出了這篇探索性論文的範圍。對我們的目的而言，只需要知道波動率確實會變化，並且我們的 EGARCH 模型能為這種可變波動率提供估計即可。不過，我們並不取日波動率本身的標準差。我們儘可能處理對數波動率，並在對數尺度上計算 vovo。
3.3 波動率的波動率成本
在傳統資產配置中，vovo 有成本。舉例來說，考慮一位平衡型基金經理，他使用例如債劵來降低包含股票的基金的波動率。或者，一位理財規劃師評估客戶投資者的風險承受能力，並提出例如 60-40 的股債組合。管理這些投資的傳統方式，是檢視各組成資產類別的長期歷史波動率，以決定投資比例。通常不會考慮資產類別的 vovo，也不會設定恆定波動率目標。該項經常被稱為“leverage”項，但我們這裡不會使用這個波動率術語，因為它可能造成混淆。
因此，採用靜態或相對恆定 60-40 組合的投資者或經理，必須承受市場波動率的變化，有時夜裡睡得安穩，有時則不然。為了確保最差情況下的波動率被最小化，資產配置會偏向保守。這會付出報酬上的代價。vovo 越大，資產配置就必須越保守，因此對報酬的成本也越高。除報酬損失外，基金經理還會因 vovo 導致基金預期回撤額外增加而承擔成本。回撤會讓擔憂的投資者贖回基金，因此管理資產規模會下降。如果兩位基金經理擁有相同年報酬和相同年波動率，那麼 vovo 較高的經理會在市場回撤中流失最多資金。
3.4 波動率的波動率策略
我們現在構建四個投資組合策略，它們以短期前瞻方式使用波動率預測和 μ / σ² 公式。這些策略是：
恆定波動率策略（CVS）
最優波動率策略（OVS）
僅均值策略（MOS）
最優波動率加均值策略（OVPMS）
MOS 並不是我們考慮用於投資的策略，因為它只是作為 OVPMS 策略的基準而納入。我們還構建了 OVPMS 的一個資料窺探版本，稱為 OVPMS+。該版本的目的是說明經過校準的 OVPMS 版本本來會表現得多好。每天臨近交易收盤前，我們取當天收盤價，並將其放入 EGARCH 估計器，以估計下一天的波動率。將我們對第 i 天波動率的估計稱為 s_i。然後我們使用槓桿計算公式計算第 i 天的槓桿 k_i。隨後就在收盤鈴響時執行交易，將投資組合調整至槓桿 k_i，使其在下一天開始時處於這一槓桿水準。EGARCH 估計以及隨後的交易必須在收盤前一瞬間完成這一事實，以及交易成本，都是執行上的不便；出於這篇說明性研究的目的，我們對此不作考慮。此外，在實踐中，我們很可能會使用日內價格而非日終價格來估計波動率，因為它們能夠提供更好的預測（Poon 和 Granger 2003）。這些策略不是模式識別型擇時策略，也不是技術分析。這些策略不是透過回測得到的。它們是純粹的數學式次日前瞻最佳化策略，只使用過去資料（OVPMS+ 例外）進行波動率預測。
3.5 槓桿型 ETF 與歸零機率
這些策略可以作為現有投資組合的疊加層來實施，也可以作為獨立投資來實施。只要存在合適的 ETF，就可以透過組合使用槓桿 ETF 來實施。例如，假設需要 2.4 的槓桿。可以透過將 0.6 的資產投資於 2x 槓桿 ETF，並將 0.4 投資於 3x 槓桿 ETF 來實現。對於任一指數，可能存在諸如 -3、-2、-1、1、2 和 3 這樣的典型槓桿範圍。這提供了一系列混合它們的可能性。例如，2.4 = 0.6x2 + 0.3x3，但也可以是 2.4 = 0.3x1 + 0.7x3，還可以是 2.4 = 0.15x(-1) + 0.85x3。可以使用兩個以上的 ETF。哪一種最好？一種可能的答案會考慮 ETF 歸零的可能性。
槓桿為 k 的 ETF 如果市場下跌 1/k，就會跌至零。因此，在 2.4 = 0.6x2 + 0.3x3 的情況下，如果指數一天內下跌 50% 或以上，策略就會歸零。但在 2.4 = 0.15x(-1) + 0.85x3 的情況下，仍會剩下 0.15x(0.5)。投資於指數時，歸零機率幾乎為零。但槓桿絕對值超過一的槓桿 ETF 始終會有有限的歸零機率。1987 年崩盤會讓任何 5x 槓桿 ETF 歸零。幸運的是，所有策略都會在波動率高時降低槓桿，因此這會降低歸零機率。我們在下文考察這些策略在 1987 年崩盤時的行為。毫無預警地衝擊市場的非市場災難性事件，將是最致命的風險。
4 波動率的波動率策略
我們的三種策略在用於推導 k_i 每日取值的公式上有所不同。
4.1 恆定波動率策略（CVS）
該策略將槓桿設為 k_i = c/s_i，其中 c 為某個常數。該策略並非最優，因為它在分母中使用 s_i，而不是 s_i²。但它有一種我們無法抗拒的簡單性和吸引力。如果預測明天是高波動率日，那麼它會按預測波動率的比例降低當天槓桿。這意味著它的目標是每天實現 c 的恆定波動率。這對財務規劃和風險管理有四個有用含義：
它提供了一個可以作為數字銷售的目標風險水準（並寫入招募說明書）
它降低了策略所經歷的 vovo。
它透過降低 3.3 小節所述的 vovo 成本來提高投資組合報酬。
它產生 alpha。
4.2 最優波動率策略（OVS）
該策略將槓桿設為 k_i = c/s_i²，其中 c 為某個常數。該策略的問題在於，c 不能像 CVS 那樣輕易地預先設定以瞄準特定波動率。對於給定預測 s_i 和槓桿 c/s_i²，第 i 天策略的預測波動率是 c/s_i，而不是 CVS 中的常數 c。因此，OVS 並非瞄準恆定波動率，而是在預測波動率越高時，瞄準額外更低的波動率。OVS 並不試圖降低 vovo，因此即便它是最優的，在考慮 vovo 成本時，它在管理情境中的吸引力也會有所下降。另一個實施問題是，在瞄準某一平均波動率水準時，所需的 c 值並不能預先知道。它可以透過考察歷史資料來校準，但這會引入估計誤差，以及未來會像過去一樣表現的假設。
我們將在下文看到，OVS 的另一個問題是，vovo 會把額外波動率引入 k_i 值，而這些值有時會變得很高。更高的 k_i 值具有更高的投資組合歸零機率。
4.3 僅均值策略（MOS）
該策略將槓桿設為 k_i = c m(s_i)，其中 c 為某個常數，m(s) 為某個函式，該函式會在下一種策略中更完整地描述。我們並不關注 MOS 策略本身，它只是作為觀察表示式 μ / σ² 中 μ 項貢獻效果的一種方式。也就是說，該策略充當基準。
4.4 最優波動率加均值策略（OVPMS、OVPMS+）
該策略將槓桿設為 k_i = c m(s_i) / s_i²，其中 c 為某個常數，m(s) 為某個函式。這裡，我們擁有一個僅作為波動率函式的平均報酬估計。任何其他預測都超出了本文關於波動率的範圍。
OVPMS 與 OVPMS+ 的區別在於，前者只使用過去資料來估計函式 m(s)，並且每天在計算 EGARCH 預測時，也會更新 m(s) 的估計。OVPMS+ 只使用一個 m(s) 估計，而該估計是從整個日期範圍計算得到的。因此，例如，它在 1951 年使用的是根據截至 2009 年的資料計算出的 m(s) 估計。這樣做的原因，是透過觀察 2009 年引數自 1950 年起應用時表現如何，讓我們瞭解該策略從 2009 年之後的表現。這是在校準語境中對資料窺探的有效使用，但通常關於未來是否類似過去的警告仍然適用。
4.5 將報酬估計為波動率函式
對於 OVPMS，我們需要一個市場報酬作為波動率函式 m(s) 的估計。更具體地說，我們希望得到市場報酬作為我們對市場波動率預測的函式的預測。Figure 4 左側圖表顯示了 1950 至 2009 年 S&P 500 指數中，14823 天的市場報酬與我們預測的 EGARCH(1, 1) 值之間的關係圖。日報酬 d_i 透過縮放為 (1 + d_i)^252 進行年化，而日預測波動率則透過乘以 252 的平方根進行年化。為提高可讀性，已省略一些極端點，例如 1987 年超過 20% 的崩盤。
乍看之下，看不出報酬與波動率之間有明顯關係。兩者之間的相關性為 0.005557（在 P = 0.50 顯著性水準下，與零沒有顯著差異）。讓我們對圖形作一些改動，以得到右側圖表。注意到隨著從左向右移動，點圍繞水準線的離散程度在擴大，我們希望透過將日報酬除以預測波動率來標準化日報酬，從而獲得均勻的離散程度。這會產生均勻的離散程度，使我們可以使用未加權最小二乘迴歸來擬合曲線。
現在，我們將圖表放大到圖中所示矩形區域，得到 Figure 5。我們將預測波動率從 0.05 到 0.25 的區間（96% 的點位於其中）劃分為 20 個等寬分箱，並計算每個分箱的平均標準化報酬。這些均值以青色繪製，並帶有兩個標準差誤差條。我們看到有令人信服的證據表明，報酬會隨波動率上升而下降。
為了在幾乎全是噪聲的資料中瞭解報酬與波動率之間的關係，我們對所有點應用了一些平滑技術，而不只是圖中顯示的點。金色線是總體均值。黑色線是 Friedman 和 Stuetzle（1982）的 supersmoother 應用，它使用區域性線性擬合。這在不對資料施加除平滑性之外任何約束的情況下對資料進行平滑，因此是最忠實的平滑。但它並沒有給出簡潔的函式形式。因此我們嘗試一些引數函式。
綠色線是二次擬合。這會給關係施加一個轉折點，並允許縮放後的報酬低於零。紅色線是冪函式 f(s) = a s^b 的穩健擬合。這會給關係施加正值性，且不要求存在轉折點。引數擬合對我們施加的約束很敏感，而我們沒有理由施加這些約束。但我們總要從某處開始，而且最終投資組合可能無論如何都對這些約束不敏感。因此，我們聚焦於冪函式。該函式似乎很好地捕捉了這種關係，並且它能很好地與 Formula 2 相乘，因此我們在所有後續工作中使用這個函式。
Table 1 顯示了 b 的估計值以及這些估計值的 95% 信賴區間。對縮放報酬擬合的冪函式是 m/s = a s^b 或 m = a s^(b+1)，因此我們的 OVPMS 策略變為 k_i = c m(s_i) / s_i² = c a s_i^(b-1)，並透過將 a 吸收到常數 c 中而省略 a。於是 k_i = c s_i^(b-1)。對於 OVPMS，我們每天更新 b 的估計；對於 OVPMS+，我們對整個時期使用一個單一估計。
4.6 從另一個角度看報酬作為波動率函式
報酬作為波動率的平滑函式，可能並不是市場執行的方式。可能存在某個波動率閾值，一旦高於該閾值，報酬就會跳到零或負值。有證據表明，所有研究的市場都存在這樣一個閾值，而且它在所有情況下都具有相似的數值。但估計該數值是一項統計工作（在有噪聲的時間序列訊號中估計峰值），超出了本文範圍。
時間 年度 95% 信賴度 指數 區間 波動率 b b 的區間 US Stocks 1885-2009 0.1672 -1.69 (-2.28, -1.09) S&P 500 1950-2009 0.1531 -1.76 (-2.63, -0.90) Dow Jones Industrial 30 1928-2009 0.1846 -1.52 (-2.27, -0.76) NASDAQ 100 1971-2009 0.2020 -1.71 (-2.24, -1.19) Russell 2000 1987-2009 0.2024 -1.82 (-2.60, -1.03) Australian All Ords 1984-2009 0.1584 -1.87 (-2.79, -0.94) Nikkei 225 1984-2009 0.2349 -2.49 (-4.05, -0.92) FTSE 100 1984-2009 0.1833 -3.10 (-4.50, -1.71) NZX All 1986-2009 0.1529 -3.18 (-4.43, -1.93) NZX 10 1988-2009 0.1783 -2.80 (-4.93, -0.66)
Table 1：指數、波動率和冪函式指數
4.7 回測策略
回測是指使用過去的資料來：
檢驗一個假設
估計某個策略過去的表現，以此作為它未來表現的參考。
在本研究中，我們將回測用於這兩個目的。我們要檢驗的主要假設是：透過使用我們的槓桿公式，可以提高報酬並降低風險。這是對回測的一種有效且相對安全的使用方式。問題出現在用資料去檢驗由資料本身提出的假設時。對資料的這種雙重使用會產生偏差，下文會加以說明。回測第二種用途的問題更直接。用過去作為未來的參考，假定了未來會像過去一樣執行。風險在於未來可能並非如此。我們無法量化或修正這種風險，只能將其視為既定事實：本文模型所做的任何預測都受制於這一風險。就本文而言，我們根據這些偏差在預測未來時的危險程度，將回測偏差分為三類：
資料窺探偏差（Data snooping bias）——當我們使用了從未來資料中獲得的過去資料時，就會出現這種偏差。當我們用未來資料校準模型，然後在過去使用這些已校準引數時，這種偏差可能較小。一個例子是測試一種需要市場波動率度量的資產配置策略。我們可以用 50 年的資料估計波動率，然後回到過去，彷彿從一開始就知道這個估計值一樣使用該策略。只要該估計值與實際未來波動率相當接近，這種偏差可能較小。例如，我們對市場波動率的估計可能偏高，也可能偏低，機率大致相同，這可能使我們對未來報酬的估計以相同機率偏高或偏低。機率相等意味著偏差較低。而且無論如何，它確實讓我們瞭解了一個準確校準模型的潛在報酬。
資料探勘偏差（Data mining bias）——當我們使用了從未來資料中獲得的過去資料，並且預期未來超額報酬會出現某種均值迴歸時，就會出現這種偏差。這種偏差通常發生在我們最佳化策略中的某個引數時。例如，我們可能有一個基於某個週期移動平均的策略。我們使用最佳化演演算法尋找能夠產生最佳超額報酬的週期值。在這種情況下，我們預期回測中會存在相當大的偏差，因為未來真實值會不同於我們的估計值，而無論我們的估計值偏高還是偏低，實際超額報酬都會低於估計值。我們的實際超額報酬會向零迴歸。希望不是一路迴歸到零，因為我們的最優值希望仍然處在真實值附近，因此即便存在偏差，資料探勘仍可能有用。
另一種會產生資料探勘偏差的情形，是檢驗一個由資料本身提出的假設。檢驗與提出假設之間的相關性意味著，該假設檢驗的顯著性水準實際上並不像檢驗統計量所顯示的那樣好。當人們從資料中“挖掘”想法，然後又用同一批資料進行檢驗時，這種偏差經常出現。在本研究中，我們透過在檢視資料之前先形成方程和策略，並且只將資料用於校準而非生成想法，來避免這種偏差。
資料折磨偏差（Data torturing bias）——當我們“折磨”資料，使其透露實際上並不包含的資訊時，就會出現這種偏差。在這種情況下，我們預期超額報酬會一路迴歸到零。一個例子是，我們注意到 13 號星期五的平均超額報酬高於其他任何一天，於是我們的策略就是隻在 13 號星期五投資。由於這一天的超額表現大概只是偶然造成的，因此該策略未來會產生零超額報酬。
這個說法來自統計學家之間的一句格言：“如果你折磨一個資料集足夠久，它會承認任何事情。”
5 波動率的波動率策略表現
所有 vovo 策略都在報酬-風險框架下進行評估。我們為此使用三種不同的風險表述：
傳統風險——日報酬率的標準差（SDDR）
極端風險——麵向 vovo 的風險——日報酬率的標準差加上兩倍 vovo（SDDR+2）
最大回撤——策略權益曲線經歷的最大峰值到穀值損失
第一種風險度量傳統上用於投資組合的風險調整績效指標，例如夏普比率（Sharpe Ratio）（Sharpe 1966）。但在存在 vovo 的情況下，日報酬率標準差給出的是一種保守的風險度量，因為它對整個期間的波動率取平均。例如，如果波動率在 0.10 和 0.20 之間變化，那麼 SDDR 會給出約 0.15 的值。相比之下，SDDR+2 會給出更接近 0.20 的值，從而反映投資期間最差的波動率。我們將 SDDR+2 值稱為極端波動率值。它大致是隻有 5% 的時間會被超過的波動率值。它處理的是波動率的波動率，不應與處理報酬波動率的風險價值（value-at-risk）概念混淆。
我們在表 1 的完整指數列表上測試了所有策略，但為簡潔起見，這裡只展示 1950-2009 年 S&P 500 的結果。除報酬幅度外，結果模式在所有市場和所有指數中都類似且一致。尤其是，各策略顯示出相同的相對排名。
5.1 傳統風險表現
Figure 6（右側圖表為放大版本）顯示了 1950 至 2009 年 S&P 500 各策略的報酬與年化日標準差（SDDR）的關係。透過增加第 4 節中的常數縮放因子 c，曲線按波動率上升的函式軌跡繪製。灰色豎線是該時間段內指數的平均波動率。每個策略都展示兩個版本：實線表示當槓桿低於一時，未投入市場的剩餘資產投資於無風險報酬的策略。虛線假設當槓桿低於一時，任何未投資資金的報酬為零。有些虛線較難看見，但它們都收斂到零點。實線曲線在槓桿為零時的截距顯示實際無風險報酬率的值，本例為 4%。為簡單起見，我們假設整個期間無風險利率保持不變。這項投資的效果是在低槓桿時略微提高報酬，曲線在零附近向上扭轉。
黑色曲線是對指數本身的槓桿投資，相當於不含費用的槓桿 ETF 所產生的結果。黑色圓點表示整數槓桿值。因此，與灰色豎線相交的黑色圓點是 1x 槓桿 ETF。下一個黑色圓點是 2x，依此類推。圖中顯示最高至 4x 槓桿。波動率拖累的影響在所有策略中都很明顯，包括槓桿 ETF。所有曲線都有一個峰值，然後下降到這些圖中未顯示的 -1 報酬。快速下跌到 -1 是 1987 年崩盤的結果，當時 S&P 500 的報酬為 -20%。任何槓桿達到 5 或以上的策略在那一天都會損失全部資產。由於這次崩盤的一次性性質，以及圖表右側策略的高波動率，我們將關注範圍限制在靠近灰色豎線的放大區域，這也是基金經理會考慮的現實波動率水準。
我們選擇使策略波動率等於指數波動率的 c 值。我們稱其為該策略的 1x 例項。這裡 1x 指的是指數波動率的倍數，而不是指數報酬的倍數。對於槓桿 ETF，1x、2x 等標識同樣可以有效地指報酬倍數或波動率倍數。策略報酬可以從圖中讀出，並列於表 3。所有策略都跑贏指數，但更重要的是，它們符合我們的預期。CVS 表現良好，但不如 OVS，這在預期之中，因為 OVS 在最優公式（2）中使用了指數 2，而 CVS 只使用了指數 1。OVPMS 優於 OVS，因為它在公式中使用了 μ 項，而 OVS 將 μ 設為 1。OVPMS+ 又優於 OVPMS，因為它使用資料窺探來最佳化公式 m(s_i)，該公式用於將 μ 估計為 σ 的函式。OVPMS+ 讓我們瞭解未來在使用校準後的 m(s_i) 函式時 OVPMS 可能表現多好。它相對 OVPMS 只帶來小幅改善，這表明 m(s_i) 的每日動態更新作為估計最優公式的自適應方法執行得相當好。
MOS 只使用公式（2）中的 μ 部分，其表現不如任何使用 σ 的策略。這說明我們相對指數的超額報酬並不只是來自“波動率低時報酬高”這一事實。進一步的報酬來自公式的分母。對於我們的所有策略和所研究的所有市場，日報酬與槓桿之間的相關性約為 0.005 到 0.02。這個值非常小，小到如果畫在圖上幾乎注意不到，並且在統計上與零沒有顯著差異（P 通常為 0.50 到 0.10）。但它足以為報酬創造顯著的擇時提升。我們也有所有其他市場的圖表，為簡潔起見這裡省略。結果彙總於表 2，並且在所有研究的市場和時間段中保持一致。下文還會考察一些特殊的熊市、橫盤市場和牛市時期。
Figure 7 顯示了 CVS 1x、OVS 1x、MOS 1x 和 OVPMS+ 1x 策略使用的每日槓桿。我們看到，只有 CVS 在大多數時間裡將最大槓桿保持在 3 以下。當波動率超過這個水準時，其他策略會讓我們有些擔憂，因為破產風險開始逼近。
OVPMS+ 策略的槓桿實際最高達到 12.5，這必然可以稱得上危險，因為市場下跌 8% 就會使投資歸零。灰色豎線顯示 1987 年崩盤，我們可以清楚看到，策略透過降低槓桿提前預見了這一事件。下文會進一步討論。Figure 8 以對數尺度顯示了各策略的權益曲線，以及 S&P 500 在 1x、2x、3x、4x 下的權益曲線。這些策略在某些時期不如 3x 和 4x 槓桿 ETF 表現好，但它們的波動率都是 1x，而 ETF 的波動率是 3x 和 4x。ETF 在 1987 年崩盤時也遭受了嚴重損失。表 2 顯示了這些策略在與表 1 相同市場和時間範圍內的表現。作為粗略經驗法則，CVS 策略的報酬似乎約為市場的兩倍，OVPMS+ 約為三倍。所有策略都是產生與市場相同波動率的例項（1x 例項）。該表提供了有力證據，表明這些策略過去執行得非常好。它們未來是否會繼續如此，仍是一個開放問題。
年化 CVS OVS MOS OVPMS OVPMS+ 指數 報酬 報酬 報酬 報酬 報酬 報酬 US Stocks 0.0393 0.0647 0.0837 0.0572 0.0953 0.0917 S&P 500 0.0699 0.1012 0.1209 0.0950 0.1260 0.1292 Dow Jones Industrial 30 0.0446 0.0855 0.1046 0.0678 0.0904 0.1071 NASDAQ 100 0.0769 0.1883 0.2540 0.1708 0.2606 0.2681 Russell 2000 0.0640 0.1393 0.1920 0.1296 0.1857 0.2062 Australian All Ords 0.0650 0.1095 0.1371 0.1050 0.1413 0.1516 Nikkei 225 -0.0000 0.0317 0.0920 0.0605 0.1228 0.1552 FTSE 100 0.0370 0.0578 0.0710 0.0720 0.0767 0.0747 NZX All 0.0441 0.1020 0.1565 0.1650 0.1952 0.2060 NZX 10 0.0504 0.0744 0.1030 0.0973 0.1116 0.1394
Table 2：指數與策略 1x 例項的報酬
5.2 極端波動率風險表現
Figure 9 顯示了策略報酬與極端波動率（SDDR+2）的關係。這使策略排名發生了顯著變化。CVS 憑藉幾乎恆定的波動率和較小的 vovo，產生了與 OVS 一樣好的報酬，並且兩者都跑贏了使用 m(s_i) 的策略。看起來，任何納入 m(s_i) 的方法都會額外增加 vovo，從而降低其在這一風險框架中的有效性。
CVS 的恆定波動率到底有多好？由於許多管理人使用歷史波動率估計波動率，而投資者對波動率的感知來自近期波動率經驗，我們用 63 日曆史波動率（對應三個月報告期）來估計 CVS 的波動率。Figure 10 繪製了這一結果，背景為 S&P 500 指數的 63 日波動率。每條序列都畫出一條 SDDR+2 水準線。兩條序列具有相同的平均波動率水準（以灰色水準線顯示），但 CVS 無論向上還是向下都不那麼極端。CVS 仍然沒有達到我們希望的平滑程度，這是進一步研究和最佳化的方向。我們已經考察了波動率的極端值，那麼報酬的極端值會怎樣？
極端報酬的一種度量是報酬的峰度，它衡量尾部有多“肥”。已有研究（Poon 和 Granger 2003）表明，vovo 會提高報酬的峰度。
5.3 最大回撤
因此，一個合理的問題是，平滑波動率是否會降低 vovo。Figure 11 顯示了不同指數下各策略報酬的峰度（連線各點的線沒有意義，只是用於引導視線）。我們看到，CVS、OVS 和 MOS 策略產生的峰度較低，但其他策略會使峰度上升並超過指數本身。
峰度衡量報酬的尾部風險，SDDR+2 衡量波動率的尾部風險。但投資者並不關心這些風險本身，因為波動率既帶來報酬，也帶來損失。真正讓投資者夜不能寐的是一連串持續虧損，從而造成投資回撤。因此，我們考察最大回撤，它被定義為投資在任意給定時間段內最大的峰值到穀值損失。為了獲得更多觀測值，我們在研究中使用一年作為時間段，儘管在實踐中，更長的期間如十年可能更有用。
一連串持續虧損既可能伴隨高波動率，也可能伴隨低波動率，因此降低波動率是否會降低迴撤併不顯然。Magdon-Ismail、Atiya、Pratap 和 Abu-Mostafa（2004）發現，在一個簡化的隨機遊走模型中，預期最大回撤大致隨 σ² 增加，並隨 μ 減少，其中這些量指的是日報酬。事實上，他們表明，在較長時間段內的預期最大回撤大致正比於 σ² / μ；有趣的是，這與我們的最優槓桿成反比。看起來，管理最優槓桿可能等同於管理預期最大回撤。
儘管股票市場遵循的路徑比簡單隨機遊走更復雜，尤其是在報酬與波動率變化之間的相互作用方麵，但預期降低波動率會降低迴撤似乎是合理的。vovo 對最大回撤的影響更加不清楚。vovo 既會降低也會提高波動率，因此可能降低或提高回撤，從而可能降低或提高預期最大回撤。在缺乏適用於含 vovo 過程的預期最大回撤公式的情況下，我們對 EGARCH 模型做了一些模擬。我們將 vovo 定義為每日 EGARCH(1, 1) 對數波動率的標準差，並允許其在 0 到 3 之間變化。我們將平均日波動率和平均日報酬固定為與 S&P 500 相同。然後執行足夠多的模擬，以得到平均最大回撤與 vovo 的平滑曲線，並將曲線繪製在 Figure 12 中。我們看到，平均最大回撤確實會隨著 vovo 的增加而增加。這是一個有用的結果，因為它表明，即使風險平滑在傳統風險框架下沒有產生報酬（即產生 alpha），它仍然可以降低最大回撤。
我們來看一些真實資料。在 Figure 13 中，1950 年至 2010 年初的期間被劃分為單獨年份，並計算了每一年中每個策略 1x 版本的最大回撤。由於這些策略施加的槓桿與波動率成反比，因此它們會在低波動率年份增加最大回撤，並在高波動率年份降低最大回撤。這使得很難形成哪種策略最佳的總體印象。但很明顯，市場（黑色）的最大回撤最高，因此這些策略相對市場有所改善。比較 CVS（青色）和 OVS（綠色），我們看到 OVS 幾乎總是比 CVS 有更低的最大回撤，即便 CVS 的 vovo 更低。這是因為 OVS 的平均報酬高於 CVS，而在降低迴撤方麵，報酬比 vovo 更重要。
5.4 Alpha Beta 圖
年化 年化 平均每日 策略 波動率 報酬 SDDR+2 槓桿 Alpha Beta S&P 500 0.153 0.070 0.283 1.000 0.000000 1.000 CVS 1x 0.153 0.101 0.191 1.303 0.000147 0.896 OVS 1x 0.153 0.121 0.222 1.380 0.000270 0.731 MOS 1x 0.153 0.095 0.205 1.257 0.000113 0.932 OVPMS 1x 0.153 0.126 0.291 1.310 0.000330 0.594 OVPMS+ 1x 0.153 0.129 0.264 1.352 0.000336 0.612
Table 3：策略統計資料
現在我們遇到一個關於槓桿和 beta 的悖論。傳統上，它們被認為是衡量同一件事的指標。但在這裡我們發現並非如此。Figure 14 顯示了各策略的日報酬與 S&P 500 指數日報酬的散點圖，所用策略例項的波動率與 S&P 500 指數相同（即 1x 版本；OVPMS 1x 因與 OVPMS+ 1x 類似而省略，以節省空間）。Alpha 和 Beta 是迴歸線的截距和斜率，即對方程 StrategyReturn = α + β IndexReturn 的最小二乘擬合。β 衡量的是指數每單位報酬對應的策略報酬。因此，它是一種槓桿度量。表 3 顯示，所有策略的 β 都小於一。平均而言，策略的波動幅度小於指數。該表還顯示了在研究期間，各策略施加於 S&P 500 指數的平均每日槓桿。圖中用藍線顯示平均槓桿。所有策略的平均槓桿都大於一。這解釋了為什麼這些策略跑贏指數：指數長期趨勢向上，而策略對這一趨勢具有槓桿敞口。vovo 策略在某種意義上將這種槓桿分配出去，使整體波動率沒有增加，但整體槓桿提高了。那麼，為什麼 β 告訴我們對指數的敞口總體下降了？這個悖論的原因是，在日報酬迴歸中，槓桿最高的點具有最低波動率，因此往往靠近圖表原點，對迴歸線的影響較小。統計學家會說這些點對迴歸線的“槓桿”較小，但我們這裡不使用這個統計術語，因為它可能造成混淆。
5.5 橫盤市場與熊市表現
1984 至 2009 年的 Nikkei 225 指數是橫盤市場的一個有趣案例。該指數在 1984 年 6 月 14 日為 10149.00，在 2009 年 6 月 12 日為 10135.82。因此，該期間的年化報酬率為 -0.0053%，實際上為零。這讓我們可以觀察，在一個買入並持有策略無法從槓桿中受益的市場中，這些策略表現如何。使用均值預測的策略（表 2 中的 OVPMS 和 OVPMS+）在這個市場中表現非常好。看起來，用波動率預測報酬對 Nikkei 225 是一種有效策略，我們從一個原地不動的市場中獲得了 12.5% 或 16% 的年報酬。
我們接下來考察的指數（Figure 15）是 2000 年 3 月 24 日至 2009 年 3 月 9 日的 S&P 500，當時指數從 1527.46 跌至 676.53，這是一個持續熊市，年化報酬率為 -8.72%。所有策略都跑贏或持平指數，但它們在該期間仍然虧損。因此，看起來在熊市中，當槓桿預計會放大虧損時，vovo 策略並不比指數更差。但它們也不會把熊市變成牛市。
5.6 牛市表現
1994 年 12 月 9 日至 2000 年 3 月 24 日是一個牛市，S&P 500 指數從 446.96 上升到 1527.46，年化報酬率為 26.11%。Figure 16 顯示，vovo 策略跑贏了指數，但幅度不大。原因可能是這一時期波動率和 vovo 都較低。vovo 策略沒有太多 vovo 可以利用。
5.7 1987 年崩盤保護
我們關注 1987 年崩盤的兩個方麵：這些策略是否保護了投資組合免受崩盤下行影響，以及這次崩盤是否接近使策略歸零？
Table 4 顯示了策略在崩盤前一天確定的槓桿，這些槓桿本可以在崩盤當天成功使用。可以看到，這些策略大幅降低了崩盤後一天的槓桿，因此在某種程度上，它們像恐慌的投資者一樣作出反應，並錯過了次日反彈的一部分。
策略 槓桿 槓桿 1987 年 10 月 19 日 1987 年 10 月 20 日 CVS 0.455 0.160 OVS 0.152 0.019 MOS 0.568 0.256 OVPMS 0.034 0.002 OVPMS+ 0.058 0.003
Table 4：策略的特殊槓桿值
但這裡的重點是，所有策略都預見到了崩盤，並大幅降低了對崩盤的敞口，從而總體上相對市場從崩盤中獲益。我們在這裡得出的任何結論都構成資料折磨，因為這次崩盤是一次性事件，並且由於此後採取的措施（例如當市場波動過大時關閉市場），它希望不太可能再次重複。
5.8 只做多、最大槓桿為 1 的投資組合
我們的 vovo 策略沒有限制所施加的槓桿量，但我們需要考察，當它們被限制在最大槓桿為一時表現如何。Figure 17 顯示了 1984 至 2009 年 Dow Jones Industrial Average 的結果。將最大槓桿設為一意味著策略的波動率不能超過指數的波動率。因此，我們只顯示圖中位於指數波動率左側的區域。
最有趣的結果是，我們的報酬降低到約等於指數報酬。這也許是可以預期的，因為我們的超額報酬來自在有利市場中平均槓桿大於一，因此最大槓桿為一會將平均槓桿降至一以下。不過，這並不是一條定律。透過在指數表現不佳時降低槓桿，平均報酬可以超過指數報酬。對於一些指數，例如 NASDAQ 100（為簡潔起見省略），報酬確實超過了指數報酬。但幅度不大。實際槓桿和平均槓桿的限制確實會影響策略報酬。圖表顯示，我們可以將年化波動率大約減半至約 0.1，同時略微提高報酬。因此，這些策略對傳統投資組合的影響很可能是降低波動率，而不是提高報酬。
6 結論與進一步研究方向
報酬並不容易預測，但波動率可以預測。透過允許槓桿投資，我們引入了一個依賴波動率的複合報酬公式，從而將可預測性引入報酬。我們識別出來自波動率可預測性的三個 alpha 來源：
透過分配槓桿而不增加整體投資組合波動率所允許的額外整體槓桿
報酬與波動率之間的關係，以及在報酬更高時使用額外槓桿
1987 年崩盤前的去槓桿
我們引入了三種簡單直觀的投資策略，它們利用這些來源，在我們測試的各類市場中產生 alpha。這三種策略是：常數波動率策略（Constant Volatility Strategy, CVS），它透過預測波動率並設定槓桿值以達到目標，從而旨在實現恆定的日波動率；最優波動率策略（Optimal Volatility Strategy, OVS），它將每日槓桿設為與預測波動率平方成反比；以及最優波動率加均值策略（Optimal Volatility Plus Mean Strategy, OVPMS），它將預期報酬估計為波動率的冪函式，並將每日槓桿設為預期報酬除以預測波動率平方。
這三種策略都設法獲得了槓桿的上行報酬而避免了下行弊端：它們在牛市和橫盤市場中產生超額報酬，在熊市中不比市場更差。如果它們被限制為槓桿不超過一，那麼它們能夠在不顯著降低報酬的情況下大幅降低投資組合波動率。而且，三種策略都降低了投資組合的波動率的波動率，使投資組合管理人能夠有意識地尋求比通常更高的波動率。
按風險調整報酬衡量，策略表現從低到高的順序是 CVS、OVS、OVPMS。但在這三種策略中，我們偏好的反而是表現最差的 CVS。我們偏好它，是因為：
它允許我們追求一個可以寫入招募說明書的指定恆定目標波動率，並且在實踐中，實現波動率遠比市場和其他策略更穩定。
它通常槓桿低於 3，因此在所有策略中具有最低的最大風險（以及最低的破產機率），並且可以使用現有 3x 槓桿 ETF 實施。
當以投資組合生命週期內最大波動率衡量時（按平均波動率加上兩倍波動率標準差衡量），它具有最佳報酬特徵。
它產生的日報酬在所有策略中峰度最低。
有人說，分散化是投資中唯一的免費午餐。看起來，一旦你透過分散化消除了一部分風險，你還可以透過平滑剩餘風險再得到一頓免費午餐。以下小節討論當前正在研究的幾個進一步研究方向。
6.1 多資產模型
我們只詳細考察了股票市場指數的波動率，這是一個單變數情形。當我們考慮多資產時，不僅會有波動率，還會有報酬之間的相關性。於是公式（2）變為 k = Σ⁻¹ μ，其中 Σ 是變異數-協變異數矩陣，k 和 μ 是向量。我們可以考慮使用多變數 EGARCH 模型來估計 Σ。
6.2 波動率變化與報酬的相互作用
我們忽略了波動率變化與報酬之間的關係。我們只在報酬與波動率絕對水準相關的範圍內估計報酬，而不是估計其與波動率變化的關係。但有證據表明，報酬與波動率變化高度負相關，並且其關係比方程（3）給出的 γ 更復雜。例如，Bouchaud、Matacz 和 Potters（2001）在其“Retarded Volatility Model”中發現，個股的相關效應適中，並在 50 天內衰減，而股票指數的相關效應要強得多，但衰減更快。
6.3 對技術交易規則的含義
上述分析研究的是作為買入並持有策略疊加層的動態槓桿。但一些使用零或一槓桿的投資策略（例如使用技術交易規則的策略）無法使用動態槓桿疊加層。一個例子是這樣一種策略：當市場高於其 200 日移動平均線時進入市場（槓桿為一），否則退出市場（槓桿為零）。對於這些策略，波動率疊加層必須轉換為對現有擇時訊號的修改，或對零和一槓桿值的修改（倉位規模）。為實現這一點，技術規則必須被表示在一個可以利用波動率可預測性的框架中。這是一個有趣的研究領域。
參考文獻
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