CLEC投资理财资料库2x 和 3x 杠杆
2x 和 3x 杠杆
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文档正文
摘要
使用管理波动率实现 Alpha 生成与风险平滑
Tony Cooper
Quantitative Analyst
Double-Digit Numerics
2010 年 8 月 6 日
预测股票市场收益很困难，但预测市场波动率相对容易。不过，波动率预测并不容易直接转化为收益预测，因为二者大体上并不相关。本文提出一个框架，生成一个让收益成为波动率函数的公式，从而使收益在一定程度上变得更可预测。我们显示，该策略能够产生超额收益，让我们获得杠杆的上行好处，同时避开其下行弊端。
作为副作用，该策略还会平滑波动率随时间的变化，降低日收益的峰度，降低最大回撤，并提供一个动态择时信号，用于在保守资产与进取资产之间倾斜资产配置。
有人说，分散化是投资中唯一的免费午餐。看起来，一旦你通过分散化消除了一部分风险，还可以通过平滑剩余风险再得到一顿免费午餐。
关键词和短语：波动率择时、波动率的波动率、极端波动率、波动率拖累、管理波动率、连续动态杠杆、杠杆型交易所交易基金、Alpha 生成、峰度、最大回撤。
JEL 分类：C22、C5、G1。www.ddnum.com。本文与获得 NAAIM Wagner Award（naaim.org/wagneraward.aspx）的论文相比，标题有所改变，文字有少量改进，并新增了关于最大回撤和峰度的章节。感谢 Aaron Brown 和 Florin Spinu 的相关评论。
1 引言
无论你是否相信有效市场假说，预测市场收益都很困难（Ferson、Simin 和 Sarkissian 2003），而市场波动率显然是可以预测的（Poon 和 Granger 2003）。Fischer Black（Miller 1999）认为，估计方差比估计预期收益容易几个数量级。这个结论并不违反市场有效性，因为准确预测波动率并不与标的资产和期权价格正确相冲突。
本文的目的，是利用波动率的可预测性来产生超额收益，即在按风险调整后高于市场的收益。要让这种预测有用，波动率本身必须是会波动的。
本文其余部分结构如下。下一节给出每日杠杆收益复利的数学表达式，由此得到启发投资策略的公式。接下来的两节讨论波动率的波动率这一概念，并介绍利用该概念的策略。随后一节是本文主体，讨论计量经济结果。最后一节总结实证发现、得出结论，并指出未来研究方向。除 1885 年至 1962 年的美国股市数据来自 Schwert（1990）（使用资本指数）之外，所有指数数据均来自 Yahoo.com。我们用 S&P 500 指数扩展该数据集，得到截至 2009 年的价格序列。
2 杠杆的简化数学
为了介绍波动率拖累这一关键投资概念，并说明杠杆如何运作，我们从一个涉及杠杆型交易所交易基金（ETF）的例子开始。
2.1 杠杆型交易所交易基金的定义
杠杆型 ETF 是旨在放大某个指数每日波动的基金。例如，在双倍杠杆基金（2x 基金）中，如果指数上涨，基金就上涨该幅度的两倍。放大倍数在 ETF 的招募说明书中规定，并且是一个固定常数。典型值包括 1、1.5、2 和 3，也会使用 -3、-2 和 -1 等负倍数。例如，如果某 ETF 承诺提供 S&P 500 指数 2 倍的收益，那么当 S&P 500 指数一天上涨 1.2% 时，该 ETF 将上涨 2 x 1.2% = 2.4%。
这个定义的关键点在于：收益是每日对标基准计算的，而不是每年计算。这会让投资者困惑，因为每日杠杆倍数并不会在 ETF 年收益或复合收益上转化为同样的倍数。杠杆型 ETF 的动态比简单地给收益乘以一个倍数更复杂，而正确公式正是我们波动率策略的关键。
2.2 关于长期持有杠杆型 ETF 的迷思
杠杆型 ETF 让许多投资者困惑，原因在于算术收益与复合收益之间的差异，以及波动率拖累的影响（下文解释）。一个常见迷思是：
杠杆型 ETF 不适合长期买入并持有。
这种迷思有多种表达方式。互联网上关于杠杆型 ETF 的一些说法包括：“不适合买入并持有投资”、“杠杆型 ETF 注定会恶化”、“随着时间推移，复利会杀死它”、“杠杆型 ETF 近乎疯狂”、“杠杆 ETF 有毒”、“杠杆 ETF 是个糟糕的想法”、“几乎保证亏损”、“长期来看投资者几乎肯定会亏钱”、“任何长期持有这些基金的人都是没有受教育的笨蛋”、“杠杆型 ETF 会漏水”、“警告：杠杆和反向 ETF 会杀死投资组合”。甚至有文章把这些 ETF 与猪流感作比较。
这种迷思的常见解释是，波动率会侵蚀长期收益。如果这是真的，那么非杠杆基金也不适合买入并持有，因为它们同样承受波动率。我们需要更仔细地考察波动率的影响。
2.3 波动率拖累
每日波动率会损害杠杆型 ETF 的收益，包括 1x 杠杆的 ETF。这源于等式：
(1 - x)(1 + x) = 1 - x²
假设市场先下跌 x，第二天又上涨 x。例如市场先跌 5%，再涨 5%。那么净结果是市场变为 (1 - 0.05) 乘以 (1 + 0.05) = 0.9975，也就是下跌 0.0025 或 0.25%。这看起来并不公平。市场跌了 5% 又涨了 5%，但我们这个 1x 杠杆 ETF 却下跌了 0.25%。
这种下跌总会发生，因为 x² 永远为正，而它前面的符号为负。因此，只要市场有波动，我们就会损失资金。我们称这种损失为波动率拖累。x 越大，x² 越大，波动率拖累也越大。对于杠杆型 ETF，杠杆会放大 x，因此也会放大波动率拖累。即使是 1x 杠杆 ETF，也有波动率拖累。
这个迷思来自一种信念：只要时间足够长，波动率拖累会把任何杠杆型 ETF 拖向零。但我们知道，1x 杠杆（即没有杠杆）可以永远安全持有，尽管 1x 杠杆也存在波动率拖累。如果 1 倍杠杆是安全的，那么 1.01 倍杠杆安全么？1.1 倍安全么？2 倍有什么特殊之处？你打算在哪里划定安全与不安全的界线？
注意，即使股票按对数方式波动，而不是按算术方式波动（因此 (1 - x) 和 (1 + x) 的变化并非同等可能），我们仍然会得到波动率拖累，因为它来自波动率本身，而不是波动率的具体性质。
2.4 市场样本数据
Figure 1 显示了可追溯到 1885 年 2 月 16 日的 135 年美国指数日价格。该指数的构建见 Schwert（1990），使用的是资本指数（不再投资股息）。来自 Yahoo.com 的 S&P 500 数据被用来将数据扩展到 2009 年。
橙色圆点显示常见杠杆率 1、2、3 以及在可见处的 4。可以看到，把杠杆从 0 增加到 1，会如预期提高年化收益。但随后，与迷思传播者所说相反，进一步增加杠杆仍然会继续提高收益。
杠杆值 1 并没有魔法。没有数学理由说明收益会在这个杠杆水平突然趋平。我们可以看到，当杠杆达到约 2 时，收益确实开始下降。这就是波动率拖累的影响。迷思传播者忘记了，决定杠杆型 ETF 收益的因素有两个：基准收益和基准波动率。如果基准有正收益，那么对它进行杠杆敞口是有利的，并能补偿波动率拖累。由于收益是杠杆的倍数，而拖累是杠杆平方的倍数，因此拖累最终会压倒通过杠杆获得的额外收益。因此，可使用的杠杆量存在上限。
收益加速与波动率拖累之间的权衡，以及对这种权衡的管理，构成了我们波动率策略的基础。
2.5 ETF 长期收益公式
杠杆型 ETF 的长期复合年增长率公式，不能只用基准收益和波动率来写出。它还涉及包含基准偏度和峰度的项。该公式通过泰勒级数展开推导得到（细节可向作者索取）。它不像使用 Ito 引理推导的公式那样假设基准收益服从高斯分布或收益是连续的。
但事实证明，对于世界股票市场以及较低杠杆水平（约 3 以下），该公式可以用下式近似：
R = kμ - 0.5k²σ² / (1 + kμ) (1)
其中，R 是 ETF 的复合日增长率，k 是 ETF 杠杆（不一定是整数，也不一定为正），μ 是基准的平均日收益，σ 是基准日收益的日波动率（即标准差）。R 是用来计算 ETF 长期买入并持有收益的量。可以从公式看到，如果波动率为零，则 R = kμ，因此 ETF 收益是基准收益的 k 倍。
0.5k²σ² / (1 + kμ) 这一项就是波动率拖累。由于 k²σ² 永远为正，且 (1 + kμ) 总是接近 1，因此波动率拖累总是正的。R 是 k 的二次函数，平方项系数为负。这意味着我们总会得到 Figure 1 中显示的抛物线形状，并且总会在某个 k 值处取得最大值。简单代数表明，在 kμ 很小时，最大值大约出现在：
k = μ / σ² (2)
这清楚显示了决定最优杠杆的收益/波动率权衡。这个公式以适当形式出现在 Kelly Criterion（Thorp 2006）和 Merton 的投资组合问题（Merton 1969）中。它在这里作为优化结果出现并不令人意外。
2.6 看几个股票市场
让我们在 Figure 2 中看看其他市场和时间框架。模式非常清楚。在不同市场和不同时间段中（大多是最近二十年左右），除 Nikkei 225 外，最优杠杆约为 2。
2.7 杠杆型 ETF 费用
不幸的是，确实可能存在不长期持有杠杆型 ETF 的理由，但它与波动率拖累无关，而是费用。
大多数杠杆大于 1 的杠杆型 ETF 会收取约 1% 的年费。这会给 ETF 施加“费用拖累”。此外，杠杆型 ETF 还会遭遇跟踪误差。它们并不是每天都能精确达到目标日收益。通过研究一些杠杆型 ETF 可以观察到，跟踪误差是一种复杂误差，超出本文范围。但跟踪误差较小，本文予以忽略。
如果将 0.95% 的年费（近期杠杆型 ETF 的典型值）按日应用，会从 ETF 年收益中减去 0.95%。对于 1885 至 2009 年的数据，这项费用会把 2x 杠杆 ETF 的收益降低到与 1x 无费用 ETF 相同。也就是说，所有杠杆收益都被损失掉了。对于其他市场和较短时间框架，费用没有这么具破坏性。最优杠杆仍然约为 2，而且即便扣除费用，2x ETF 在几十年内仍跑赢基准。
2.8 杠杆型 ETF 的风险
只要市场有足够收益克服波动率拖累，杠杆型 ETF 就可以长期持有。通常市场确实如此。对近来的大多数市场而言，最优杠杆约为 2。但某些市场和时间框架会奖励高达 3 的杠杆。没有市场会奖励 4 倍杠杆。因此，看起来使用杠杆型 ETF 增强收益是个好主意。
但事实并非如此，原因如下：
杠杆型 ETF 不产生 alpha。任何放大收益的杠杆都会以相同倍数放大波动率。因此，风险调整后收益并没有提高。
当从左侧接近抛物线顶点时，我们在增加杠杆，也就是增加波动率，但得到的额外复合收益并不多。而越过顶点后，我们是在增加波动率并损失收益。这很危险，因为我们并不知道未来市场中顶点的确切位置，因此会承担负 alpha 的风险。
杠杆型 ETF 面临归零风险，也就是损失全部投入资金。
因此，要有效使用杠杆型 ETF，我们希望尽可能靠左投资，并密切关注波动率，避免偏到右侧。这正是波动率的波动率发挥作用的地方。
3 波动率与波动率的波动率
最优杠杆 k = μ / σ² 给出 R 的最优值。对于 Figure 2 中各市场的图表，μ 和 σ 是 ETF 生命周期内的均值。但在现实中，μ 和 σ 并不被视为常数，而可以合理地看作随时间变化。因此，k 的最优值似乎也很可能随时间变化。我们能否足够好地预测 μ 和 σ，以估计即将到来的短期未来中的最优 k 值？
我们无法轻易预测 μ，而且无论如何这也超出了本文关于波动率的讨论范围。这是一个动态资产配置问题，其中我们希望在以天或月等离散时间间隔作出决策的情况下，最大化某种终值财富度量。这是一个动态随机规划问题（Samuelson 1969），但给出其最优解超出了本文范围。相反，我们给出解决该问题可能带来收益的一个指示。
3.1 EGARCH(1, 1) 波动率预测
σ，即日波动率，是一个可以逐日变化的随机变量。它被定义为价格波动的瞬时标准差。衡量波动率并不像衡量价格那样直接。它需要衡量一段时间内的价格变化，但在所衡量的时间间隔内，波动率本身可能已经发生变化。例如，如果只能观察到每日收盘价，那么为了得到合理的标准差度量，就需要观察 10 天内的 10 个价格。但在这 10 天中，波动率本身肯定已经变化。因此，瞬时波动率不可观察。瞬时波动率只能在模型语境中估计。
我们将使用 EGARCH(1, 1) 模型进行波动率预测，因为它是相对标准的选择，而且 Poon 和 Granger（2003）报告的研究显示，它优于其他方法，尤其是在用于市场指数时。为我们的目的寻找最佳方法超出了这篇说明性论文的范围，因此一种指示性方法已经足够。EGARCH(1, 1) 模型为：
log(σ²_t) = m(1 - β) + β log(σ²_{t-1}) + α(|ε_{t-1}| / σ_{t-1}) + γ(ε_{t-1} / σ_{t-1}) (3)
该模型把第 t 天的对数方差 log(σ²_t) 建模为长期对数方差 m、前一天对数方差 log(σ²_{t-1})，以及前一天收益 ε_{t-1} 的绝对值（为保持一致性，用前一天波动率 σ_{t-1} 缩放）的加权平均。γ 项是修正项，允许负的日收益倾向于给日波动率增加正值这一事实。在估计 m、α、β 和 γ 后，我们可以根据第 t - 1 天计算出的数量来估计第 t 天的波动率。尽管波动率不是一个可直接观察的量，这种方法仍能为第 1 至 t 天给出波动率估计。而且，我们还可以代入第 t 天计算出的值来预测第 t + 1 天的波动率。
Figure 3 显示了 1950 至 2009 年 S&P 500 日波动率的 EGARCH 估计。左侧图表显示波动率估计，右侧图表显示对数尺度下的估计。很明显，波动率的对数比原始波动率更对称，也较少“尖峰化”。这为我们在 Equation (3) 中使用对数估计器，而不是直接估计 σ²_t 的估计器，提供了理由。
3.2 波动率的波动率
Figure 3 中图表的一个特征是，波动率估计会随时间变化。最可能的原因是被估计的实际波动率随时间变化。我们将波动率的波动率（简称 vovo）定义为第 t = 1 至 n 天的日波动率 σ_t 的标准差，其中 n 表示观察天数。于是，出于本文目的，我们将用 EGARCH(1, 1) 日波动率估计值的标准差这一直观合理的方式来估计 vovo。考察该估计器的统计性质超出了这篇探索性论文的范围。对我们的目的而言，只需要知道波动率确实会变化，并且我们的 EGARCH 模型能为这种可变波动率提供估计即可。不过，我们并不取日波动率本身的标准差。我们尽可能处理对数波动率，并在对数尺度上计算 vovo。
3.3 波动率的波动率成本
在传统资产配置中，vovo 有成本。举例来说，考虑一位平衡型基金经理，他使用例如债券来降低包含股票的基金的波动率。或者，一位理财规划师评估客户投资者的风险承受能力，并提出例如 60-40 的股债组合。管理这些投资的传统方式，是查看各组成资产类别的长期历史波动率，以决定投资比例。通常不会考虑资产类别的 vovo，也不会设定恒定波动率目标。该项经常被称为“leverage”项，但我们这里不会使用这个波动率术语，因为它可能造成混淆。
因此，采用静态或相对恒定 60-40 组合的投资者或经理，必须承受市场波动率的变化，有时夜里睡得安稳，有时则不然。为了确保最差情况下的波动率被最小化，资产配置会偏向保守。这会付出收益上的代价。vovo 越大，资产配置就必须越保守，因此对收益的成本也越高。除收益损失外，基金经理还会因 vovo 导致基金预期回撤额外增加而承担成本。回撤会让担忧的投资者赎回基金，因此管理资产规模会下降。如果两位基金经理拥有相同年收益和相同年波动率，那么 vovo 较高的经理会在市场回撤中流失最多资金。
3.4 波动率的波动率策略
我们现在构建四个投资组合策略，它们以短期前瞻方式使用波动率预测和 μ / σ² 公式。这些策略是：
恒定波动率策略（CVS）
最优波动率策略（OVS）
仅均值策略（MOS）
最优波动率加均值策略（OVPMS）
MOS 并不是我们考虑用于投资的策略，因为它只是作为 OVPMS 策略的基准而纳入。我们还构建了 OVPMS 的一个数据窥探版本，称为 OVPMS+。该版本的目的是说明经过校准的 OVPMS 版本本来会表现得多好。每天临近交易收盘前，我们取当天收盘价，并将其放入 EGARCH 估计器，以估计下一天的波动率。将我们对第 i 天波动率的估计称为 s_i。然后我们使用杠杆计算公式计算第 i 天的杠杆 k_i。随后就在收盘铃响时执行交易，将投资组合调整至杠杆 k_i，使其在下一天开始时处于这一杠杆水平。EGARCH 估计以及随后的交易必须在收盘前一瞬间完成这一事实，以及交易成本，都是执行上的不便；出于这篇说明性研究的目的，我们对此不作考虑。此外，在实践中，我们很可能会使用日内价格而非日终价格来估计波动率，因为它们能够提供更好的预测（Poon 和 Granger 2003）。这些策略不是模式识别型择时策略，也不是技术分析。这些策略不是通过回测得到的。它们是纯粹的数学式次日前瞻优化策略，只使用过去数据（OVPMS+ 例外）进行波动率预测。
3.5 杠杆型 ETF 与归零概率
这些策略可以作为现有投资组合的叠加层来实施，也可以作为独立投资来实施。只要存在合适的 ETF，就可以通过组合使用杠杆 ETF 来实施。例如，假设需要 2.4 的杠杆。可以通过将 0.6 的资产投资于 2x 杠杆 ETF，并将 0.4 投资于 3x 杠杆 ETF 来实现。对于任一指数，可能存在诸如 -3、-2、-1、1、2 和 3 这样的典型杠杆范围。这提供了一系列混合它们的可能性。例如，2.4 = 0.6x2 + 0.3x3，但也可以是 2.4 = 0.3x1 + 0.7x3，还可以是 2.4 = 0.15x(-1) + 0.85x3。可以使用两个以上的 ETF。哪一种最好？一种可能的答案会考虑 ETF 归零的可能性。
杠杆为 k 的 ETF 如果市场下跌 1/k，就会跌至零。因此，在 2.4 = 0.6x2 + 0.3x3 的情况下，如果指数一天内下跌 50% 或以上，策略就会归零。但在 2.4 = 0.15x(-1) + 0.85x3 的情况下，仍会剩下 0.15x(0.5)。投资于指数时，归零概率几乎为零。但杠杆绝对值超过一的杠杆 ETF 始终会有有限的归零概率。1987 年崩盘会让任何 5x 杠杆 ETF 归零。幸运的是，所有策略都会在波动率高时降低杠杆，因此这会降低归零概率。我们在下文考察这些策略在 1987 年崩盘时的行为。毫无预警地冲击市场的非市场灾难性事件，将是最致命的风险。
4 波动率的波动率策略
我们的三种策略在用于推导 k_i 每日取值的公式上有所不同。
4.1 恒定波动率策略（CVS）
该策略将杠杆设为 k_i = c/s_i，其中 c 为某个常数。该策略并非最优，因为它在分母中使用 s_i，而不是 s_i²。但它有一种我们无法抗拒的简单性和吸引力。如果预测明天是高波动率日，那么它会按预测波动率的比例降低当天杠杆。这意味着它的目标是每天实现 c 的恒定波动率。这对财务规划和风险管理有四个有用含义：
它提供了一个可以作为数字销售的目标风险水平（并写入招募说明书）
它降低了策略所经历的 vovo。
它通过降低 3.3 小节所述的 vovo 成本来提高投资组合收益。
它产生 alpha。
4.2 最优波动率策略（OVS）
该策略将杠杆设为 k_i = c/s_i²，其中 c 为某个常数。该策略的问题在于，c 不能像 CVS 那样轻易地预先设定以瞄准特定波动率。对于给定预测 s_i 和杠杆 c/s_i²，第 i 天策略的预测波动率是 c/s_i，而不是 CVS 中的常数 c。因此，OVS 并非瞄准恒定波动率，而是在预测波动率越高时，瞄准额外更低的波动率。OVS 并不试图降低 vovo，因此即便它是最优的，在考虑 vovo 成本时，它在管理情境中的吸引力也会有所下降。另一个实施问题是，在瞄准某一平均波动率水平时，所需的 c 值并不能预先知道。它可以通过考察历史数据来校准，但这会引入估计误差，以及未来会像过去一样表现的假设。
我们将在下文看到，OVS 的另一个问题是，vovo 会把额外波动率引入 k_i 值，而这些值有时会变得很高。更高的 k_i 值具有更高的投资组合归零概率。
4.3 仅均值策略（MOS）
该策略将杠杆设为 k_i = c m(s_i)，其中 c 为某个常数，m(s) 为某个函数，该函数会在下一种策略中更完整地描述。我们并不关注 MOS 策略本身，它只是作为观察表达式 μ / σ² 中 μ 项贡献效果的一种方式。也就是说，该策略充当基准。
4.4 最优波动率加均值策略（OVPMS、OVPMS+）
该策略将杠杆设为 k_i = c m(s_i) / s_i²，其中 c 为某个常数，m(s) 为某个函数。这里，我们拥有一个仅作为波动率函数的平均收益估计。任何其他预测都超出了本文关于波动率的范围。
OVPMS 与 OVPMS+ 的区别在于，前者只使用过去数据来估计函数 m(s)，并且每天在计算 EGARCH 预测时，也会更新 m(s) 的估计。OVPMS+ 只使用一个 m(s) 估计，而该估计是从整个日期范围计算得到的。因此，例如，它在 1951 年使用的是根据截至 2009 年的数据计算出的 m(s) 估计。这样做的原因，是通过观察 2009 年参数自 1950 年起应用时表现如何，让我们了解该策略从 2009 年之后的表现。这是在校准语境中对数据窥探的有效使用，但通常关于未来是否类似过去的警告仍然适用。
4.5 将收益估计为波动率函数
对于 OVPMS，我们需要一个市场收益作为波动率函数 m(s) 的估计。更具体地说，我们希望得到市场收益作为我们对市场波动率预测的函数的预测。Figure 4 左侧图表显示了 1950 至 2009 年 S&P 500 指数中，14823 天的市场收益与我们预测的 EGARCH(1, 1) 值之间的关系图。日收益 d_i 通过缩放为 (1 + d_i)^252 进行年化，而日预测波动率则通过乘以 252 的平方根进行年化。为提高可读性，已省略一些极端点，例如 1987 年超过 20% 的崩盘。
乍看之下，看不出收益与波动率之间有明显关系。两者之间的相关性为 0.005557（在 P = 0.50 显着性水平下，与零没有显着差异）。让我们对图形作一些改动，以得到右侧图表。注意到随着从左向右移动，点围绕水平线的离散程度在扩大，我们希望通过将日收益除以预测波动率来标准化日收益，从而获得均匀的离散程度。这会产生均匀的离散程度，使我们可以使用未加权最小二乘回归来拟合曲线。
现在，我们将图表放大到图中所示矩形区域，得到 Figure 5。我们将预测波动率从 0.05 到 0.25 的区间（96% 的点位于其中）划分为 20 个等宽分箱，并计算每个分箱的平均标准化收益。这些均值以青色绘制，并带有两个标准差误差条。我们看到有令人信服的证据表明，收益会随波动率上升而下降。
为了在几乎全是噪声的数据中了解收益与波动率之间的关系，我们对所有点应用了一些平滑技术，而不只是图中显示的点。金色线是总体均值。黑色线是 Friedman 和 Stuetzle（1982）的 supersmoother 应用，它使用局部线性拟合。这在不对数据施加除平滑性之外任何约束的情况下对数据进行平滑，因此是最忠实的平滑。但它并没有给出简洁的函数形式。因此我们尝试一些参数函数。
绿色线是二次拟合。这会给关系施加一个转折点，并允许缩放后的收益低于零。红色线是幂函数 f(s) = a s^b 的稳健拟合。这会给关系施加正值性，且不要求存在转折点。参数拟合对我们施加的约束很敏感，而我们没有理由施加这些约束。但我们总要从某处开始，而且最终投资组合可能无论如何都对这些约束不敏感。因此，我们聚焦于幂函数。该函数似乎很好地捕捉了这种关系，并且它能很好地与 Formula 2 相乘，因此我们在所有后续工作中使用这个函数。
Table 1 显示了 b 的估计值以及这些估计值的 95% 置信区间。对缩放收益拟合的幂函数是 m/s = a s^b 或 m = a s^(b+1)，因此我们的 OVPMS 策略变为 k_i = c m(s_i) / s_i² = c a s_i^(b-1)，并通过将 a 吸收到常数 c 中而省略 a。于是 k_i = c s_i^(b-1)。对于 OVPMS，我们每天更新 b 的估计；对于 OVPMS+，我们对整个时期使用一个单一估计。
4.6 从另一个角度看收益作为波动率函数
收益作为波动率的平滑函数，可能并不是市场运行的方式。可能存在某个波动率阈值，一旦高于该阈值，收益就会跳到零或负值。有证据表明，所有研究的市场都存在这样一个阈值，而且它在所有情况下都具有相似的数值。但估计该数值是一项统计工作（在有噪声的时间序列信号中估计峰值），超出了本文范围。
时间 年度 95% 置信度 指数 区间 波动率 b b 的区间 US Stocks 1885-2009 0.1672 -1.69 (-2.28, -1.09) S&P 500 1950-2009 0.1531 -1.76 (-2.63, -0.90) Dow Jones Industrial 30 1928-2009 0.1846 -1.52 (-2.27, -0.76) NASDAQ 100 1971-2009 0.2020 -1.71 (-2.24, -1.19) Russell 2000 1987-2009 0.2024 -1.82 (-2.60, -1.03) Australian All Ords 1984-2009 0.1584 -1.87 (-2.79, -0.94) Nikkei 225 1984-2009 0.2349 -2.49 (-4.05, -0.92) FTSE 100 1984-2009 0.1833 -3.10 (-4.50, -1.71) NZX All 1986-2009 0.1529 -3.18 (-4.43, -1.93) NZX 10 1988-2009 0.1783 -2.80 (-4.93, -0.66)
Table 1：指数、波动率和幂函数指数
4.7 回测策略
回测是指使用过去的数据来：
检验一个假设
估计某个策略过去的表现，以此作为它未来表现的参考。
在本研究中，我们将回测用于这两个目的。我们要检验的主要假设是：通过使用我们的杠杆公式，可以提高收益并降低风险。这是对回测的一种有效且相对安全的使用方式。问题出现在用数据去检验由数据本身提出的假设时。对数据的这种双重使用会产生偏差，下文会加以说明。回测第二种用途的问题更直接。用过去作为未来的参考，假定了未来会像过去一样运行。风险在于未来可能并非如此。我们无法量化或修正这种风险，只能将其视为既定事实：本文模型所做的任何预测都受制于这一风险。就本文而言，我们根据这些偏差在预测未来时的危险程度，将回测偏差分为三类：
数据窥探偏差（Data snooping bias）——当我们使用了从未来数据中获得的过去数据时，就会出现这种偏差。当我们用未来数据校准模型，然后在过去使用这些已校准参数时，这种偏差可能较小。一个例子是测试一种需要市场波动率度量的资产配置策略。我们可以用 50 年的数据估计波动率，然后回到过去，仿佛从一开始就知道这个估计值一样使用该策略。只要该估计值与实际未来波动率相当接近，这种偏差可能较小。例如，我们对市场波动率的估计可能偏高，也可能偏低，概率大致相同，这可能使我们对未来收益的估计以相同概率偏高或偏低。概率相等意味着偏差较低。而且无论如何，它确实让我们了解了一个准确校准模型的潜在收益。
数据挖掘偏差（Data mining bias）——当我们使用了从未来数据中获得的过去数据，并且预期未来超额收益会出现某种均值回归时，就会出现这种偏差。这种偏差通常发生在我们优化策略中的某个参数时。例如，我们可能有一个基于某个周期移动平均的策略。我们使用优化算法寻找能够产生最佳超额收益的周期值。在这种情况下，我们预期回测中会存在相当大的偏差，因为未来真实值会不同于我们的估计值，而无论我们的估计值偏高还是偏低，实际超额收益都会低于估计值。我们的实际超额收益会向零回归。希望不是一路回归到零，因为我们的最优值希望仍然处在真实值附近，因此即便存在偏差，数据挖掘仍可能有用。
另一种会产生数据挖掘偏差的情形，是检验一个由数据本身提出的假设。检验与提出假设之间的相关性意味着，该假设检验的显着性水平实际上并不像检验统计量所显示的那样好。当人们从数据中“挖掘”想法，然后又用同一批数据进行检验时，这种偏差经常出现。在本研究中，我们通过在查看数据之前先形成方程和策略，并且只将数据用于校准而非生成想法，来避免这种偏差。
数据折磨偏差（Data torturing bias）——当我们“折磨”数据，使其透露实际上并不包含的信息时，就会出现这种偏差。在这种情况下，我们预期超额收益会一路回归到零。一个例子是，我们注意到 13 号星期五的平均超额收益高于其他任何一天，于是我们的策略就是只在 13 号星期五投资。由于这一天的超额表现大概只是偶然造成的，因此该策略未来会产生零超额收益。
这个说法来自统计学家之间的一句格言：“如果你折磨一个数据集足够久，它会承认任何事情。”
5 波动率的波动率策略表现
所有 vovo 策略都在收益-风险框架下进行评估。我们为此使用三种不同的风险表述：
传统风险——日收益率的标准差（SDDR）
极端风险——面向 vovo 的风险——日收益率的标准差加上两倍 vovo（SDDR+2）
最大回撤——策略权益曲线经历的最大峰值到谷值损失
第一种风险度量传统上用于投资组合的风险调整绩效指标，例如夏普比率（Sharpe Ratio）（Sharpe 1966）。但在存在 vovo 的情况下，日收益率标准差给出的是一种保守的风险度量，因为它对整个期间的波动率取平均。例如，如果波动率在 0.10 和 0.20 之间变化，那么 SDDR 会给出约 0.15 的值。相比之下，SDDR+2 会给出更接近 0.20 的值，从而反映投资期间最差的波动率。我们将 SDDR+2 值称为极端波动率值。它大致是只有 5% 的时间会被超过的波动率值。它处理的是波动率的波动率，不应与处理收益波动率的风险价值（value-at-risk）概念混淆。
我们在表 1 的完整指数列表上测试了所有策略，但为简洁起见，这里只展示 1950-2009 年 S&P 500 的结果。除收益幅度外，结果模式在所有市场和所有指数中都类似且一致。尤其是，各策略显示出相同的相对排名。
5.1 传统风险表现
Figure 6（右侧图表为放大版本）显示了 1950 至 2009 年 S&P 500 各策略的收益与年化日标准差（SDDR）的关系。通过增加第 4 节中的常数缩放因子 c，曲线按波动率上升的函数轨迹绘制。灰色竖线是该时间段内指数的平均波动率。每个策略都展示两个版本：实线表示当杠杆低于一时，未投入市场的剩余资产投资于无风险收益的策略。虚线假设当杠杆低于一时，任何未投资资金的收益为零。有些虚线较难看见，但它们都收敛到零点。实线曲线在杠杆为零时的截距显示实际无风险收益率的值，本例为 4%。为简单起见，我们假设整个期间无风险利率保持不变。这项投资的效果是在低杠杆时略微提高收益，曲线在零附近向上扭转。
黑色曲线是对指数本身的杠杆投资，相当于不含费用的杠杆 ETF 所产生的结果。黑色圆点表示整数杠杆值。因此，与灰色竖线相交的黑色圆点是 1x 杠杆 ETF。下一个黑色圆点是 2x，依此类推。图中显示最高至 4x 杠杆。波动率拖累的影响在所有策略中都很明显，包括杠杆 ETF。所有曲线都有一个峰值，然后下降到这些图中未显示的 -1 收益。快速下跌到 -1 是 1987 年崩盘的结果，当时 S&P 500 的收益为 -20%。任何杠杆达到 5 或以上的策略在那一天都会损失全部资产。由于这次崩盘的一次性性质，以及图表右侧策略的高波动率，我们将关注范围限制在靠近灰色竖线的放大区域，这也是基金经理会考虑的现实波动率水平。
我们选择使策略波动率等于指数波动率的 c 值。我们称其为该策略的 1x 实例。这里 1x 指的是指数波动率的倍数，而不是指数收益的倍数。对于杠杆 ETF，1x、2x 等标识同样可以有效地指收益倍数或波动率倍数。策略收益可以从图中读出，并列于表 3。所有策略都跑赢指数，但更重要的是，它们符合我们的预期。CVS 表现良好，但不如 OVS，这在预期之中，因为 OVS 在最优公式（2）中使用了指数 2，而 CVS 只使用了指数 1。OVPMS 优于 OVS，因为它在公式中使用了 μ 项，而 OVS 将 μ 设为 1。OVPMS+ 又优于 OVPMS，因为它使用数据窥探来优化公式 m(s_i)，该公式用于将 μ 估计为 σ 的函数。OVPMS+ 让我们了解未来在使用校准后的 m(s_i) 函数时 OVPMS 可能表现多好。它相对 OVPMS 只带来小幅改善，这表明 m(s_i) 的每日动态更新作为估计最优公式的自适应方法运行得相当好。
MOS 只使用公式（2）中的 μ 部分，其表现不如任何使用 σ 的策略。这说明我们相对指数的超额收益并不只是来自“波动率低时收益高”这一事实。进一步的收益来自公式的分母。对于我们的所有策略和所研究的所有市场，日收益与杠杆之间的相关性约为 0.005 到 0.02。这个值非常小，小到如果画在图上几乎注意不到，并且在统计上与零没有显着差异（P 通常为 0.50 到 0.10）。但它足以为收益创造显着的择时提升。我们也有所有其他市场的图表，为简洁起见这里省略。结果汇总于表 2，并且在所有研究的市场和时间段中保持一致。下文还会考察一些特殊的熊市、横盘市场和牛市时期。
Figure 7 显示了 CVS 1x、OVS 1x、MOS 1x 和 OVPMS+ 1x 策略使用的每日杠杆。我们看到，只有 CVS 在大多数时间里将最大杠杆保持在 3 以下。当波动率超过这个水平时，其他策略会让我们有些担忧，因为破产风险开始逼近。
OVPMS+ 策略的杠杆实际最高达到 12.5，这必然可以称得上危险，因为市场下跌 8% 就会使投资归零。灰色竖线显示 1987 年崩盘，我们可以清楚看到，策略通过降低杠杆提前预见了这一事件。下文会进一步讨论。Figure 8 以对数尺度显示了各策略的权益曲线，以及 S&P 500 在 1x、2x、3x、4x 下的权益曲线。这些策略在某些时期不如 3x 和 4x 杠杆 ETF 表现好，但它们的波动率都是 1x，而 ETF 的波动率是 3x 和 4x。ETF 在 1987 年崩盘时也遭受了严重损失。表 2 显示了这些策略在与表 1 相同市场和时间范围内的表现。作为粗略经验法则，CVS 策略的收益似乎约为市场的两倍，OVPMS+ 约为三倍。所有策略都是产生与市场相同波动率的实例（1x 实例）。该表提供了有力证据，表明这些策略过去运行得非常好。它们未来是否会继续如此，仍是一个开放问题。
年化 CVS OVS MOS OVPMS OVPMS+ 指数 收益 收益 收益 收益 收益 收益 US Stocks 0.0393 0.0647 0.0837 0.0572 0.0953 0.0917 S&P 500 0.0699 0.1012 0.1209 0.0950 0.1260 0.1292 Dow Jones Industrial 30 0.0446 0.0855 0.1046 0.0678 0.0904 0.1071 NASDAQ 100 0.0769 0.1883 0.2540 0.1708 0.2606 0.2681 Russell 2000 0.0640 0.1393 0.1920 0.1296 0.1857 0.2062 Australian All Ords 0.0650 0.1095 0.1371 0.1050 0.1413 0.1516 Nikkei 225 -0.0000 0.0317 0.0920 0.0605 0.1228 0.1552 FTSE 100 0.0370 0.0578 0.0710 0.0720 0.0767 0.0747 NZX All 0.0441 0.1020 0.1565 0.1650 0.1952 0.2060 NZX 10 0.0504 0.0744 0.1030 0.0973 0.1116 0.1394
Table 2：指数与策略 1x 实例的收益
5.2 极端波动率风险表现
Figure 9 显示了策略收益与极端波动率（SDDR+2）的关系。这使策略排名发生了显着变化。CVS 凭借几乎恒定的波动率和较小的 vovo，产生了与 OVS 一样好的收益，并且两者都跑赢了使用 m(s_i) 的策略。看起来，任何纳入 m(s_i) 的方法都会额外增加 vovo，从而降低其在这一风险框架中的有效性。
CVS 的恒定波动率到底有多好？由于许多管理人使用历史波动率估计波动率，而投资者对波动率的感知来自近期波动率经验，我们用 63 日历史波动率（对应三个月报告期）来估计 CVS 的波动率。Figure 10 绘制了这一结果，背景为 S&P 500 指数的 63 日波动率。每条序列都画出一条 SDDR+2 水平线。两条序列具有相同的平均波动率水平（以灰色水平线显示），但 CVS 无论向上还是向下都不那么极端。CVS 仍然没有达到我们希望的平滑程度，这是进一步研究和优化的方向。我们已经考察了波动率的极端值，那么收益的极端值会怎样？
极端收益的一种度量是收益的峰度，它衡量尾部有多“肥”。已有研究（Poon 和 Granger 2003）表明，vovo 会提高收益的峰度。
5.3 最大回撤
因此，一个合理的问题是，平滑波动率是否会降低 vovo。Figure 11 显示了不同指数下各策略收益的峰度（连接各点的线没有意义，只是用于引导视线）。我们看到，CVS、OVS 和 MOS 策略产生的峰度较低，但其他策略会使峰度上升并超过指数本身。
峰度衡量收益的尾部风险，SDDR+2 衡量波动率的尾部风险。但投资者并不关心这些风险本身，因为波动率既带来收益，也带来损失。真正让投资者夜不能寐的是一连串持续亏损，从而造成投资回撤。因此，我们考察最大回撤，它被定义为投资在任意给定时间段内最大的峰值到谷值损失。为了获得更多观测值，我们在研究中使用一年作为时间段，尽管在实践中，更长的期间如十年可能更有用。
一连串持续亏损既可能伴随高波动率，也可能伴随低波动率，因此降低波动率是否会降低回撤并不显然。Magdon-Ismail、Atiya、Pratap 和 Abu-Mostafa（2004）发现，在一个简化的随机游走模型中，预期最大回撤大致随 σ² 增加，并随 μ 减少，其中这些量指的是日收益。事实上，他们表明，在较长时间段内的预期最大回撤大致正比于 σ² / μ；有趣的是，这与我们的最优杠杆成反比。看起来，管理最优杠杆可能等同于管理预期最大回撤。
尽管股票市场遵循的路径比简单随机游走更复杂，尤其是在收益与波动率变化之间的相互作用方面，但预期降低波动率会降低回撤似乎是合理的。vovo 对最大回撤的影响更加不清楚。vovo 既会降低也会提高波动率，因此可能降低或提高回撤，从而可能降低或提高预期最大回撤。在缺乏适用于含 vovo 过程的预期最大回撤公式的情况下，我们对 EGARCH 模型做了一些模拟。我们将 vovo 定义为每日 EGARCH(1, 1) 对数波动率的标准差，并允许其在 0 到 3 之间变化。我们将平均日波动率和平均日收益固定为与 S&P 500 相同。然后运行足够多的模拟，以得到平均最大回撤与 vovo 的平滑曲线，并将曲线绘制在 Figure 12 中。我们看到，平均最大回撤确实会随着 vovo 的增加而增加。这是一个有用的结果，因为它表明，即使风险平滑在传统风险框架下没有产生收益（即产生 alpha），它仍然可以降低最大回撤。
我们来看一些真实数据。在 Figure 13 中，1950 年至 2010 年初的期间被划分为单独年份，并计算了每一年中每个策略 1x 版本的最大回撤。由于这些策略施加的杠杆与波动率成反比，因此它们会在低波动率年份增加最大回撤，并在高波动率年份降低最大回撤。这使得很难形成哪种策略最佳的总体印象。但很明显，市场（黑色）的最大回撤最高，因此这些策略相对市场有所改善。比较 CVS（青色）和 OVS（绿色），我们看到 OVS 几乎总是比 CVS 有更低的最大回撤，即便 CVS 的 vovo 更低。这是因为 OVS 的平均收益高于 CVS，而在降低回撤方面，收益比 vovo 更重要。
5.4 Alpha Beta 图
年化 年化 平均每日 策略 波动率 收益 SDDR+2 杠杆 Alpha Beta S&P 500 0.153 0.070 0.283 1.000 0.000000 1.000 CVS 1x 0.153 0.101 0.191 1.303 0.000147 0.896 OVS 1x 0.153 0.121 0.222 1.380 0.000270 0.731 MOS 1x 0.153 0.095 0.205 1.257 0.000113 0.932 OVPMS 1x 0.153 0.126 0.291 1.310 0.000330 0.594 OVPMS+ 1x 0.153 0.129 0.264 1.352 0.000336 0.612
Table 3：策略统计数据
现在我们遇到一个关于杠杆和 beta 的悖论。传统上，它们被认为是衡量同一件事的指标。但在这里我们发现并非如此。Figure 14 显示了各策略的日收益与 S&P 500 指数日收益的散点图，所用策略实例的波动率与 S&P 500 指数相同（即 1x 版本；OVPMS 1x 因与 OVPMS+ 1x 类似而省略，以节省空间）。Alpha 和 Beta 是回归线的截距和斜率，即对方程 StrategyReturn = α + β IndexReturn 的最小二乘拟合。β 衡量的是指数每单位收益对应的策略收益。因此，它是一种杠杆度量。表 3 显示，所有策略的 β 都小于一。平均而言，策略的波动幅度小于指数。该表还显示了在研究期间，各策略施加于 S&P 500 指数的平均每日杠杆。图中用蓝线显示平均杠杆。所有策略的平均杠杆都大于一。这解释了为什么这些策略跑赢指数：指数长期趋势向上，而策略对这一趋势具有杠杆敞口。vovo 策略在某种意义上将这种杠杆分配出去，使整体波动率没有增加，但整体杠杆提高了。那么，为什么 β 告诉我们对指数的敞口总体下降了？这个悖论的原因是，在日收益回归中，杠杆最高的点具有最低波动率，因此往往靠近图表原点，对回归线的影响较小。统计学家会说这些点对回归线的“杠杆”较小，但我们这里不使用这个统计术语，因为它可能造成混淆。
5.5 横盘市场与熊市表现
1984 至 2009 年的 Nikkei 225 指数是横盘市场的一个有趣案例。该指数在 1984 年 6 月 14 日为 10149.00，在 2009 年 6 月 12 日为 10135.82。因此，该期间的年化收益率为 -0.0053%，实际上为零。这让我们可以观察，在一个买入并持有策略无法从杠杆中受益的市场中，这些策略表现如何。使用均值预测的策略（表 2 中的 OVPMS 和 OVPMS+）在这个市场中表现非常好。看起来，用波动率预测收益对 Nikkei 225 是一种有效策略，我们从一个原地不动的市场中获得了 12.5% 或 16% 的年收益。
我们接下来考察的指数（Figure 15）是 2000 年 3 月 24 日至 2009 年 3 月 9 日的 S&P 500，当时指数从 1527.46 跌至 676.53，这是一个持续熊市，年化收益率为 -8.72%。所有策略都跑赢或持平指数，但它们在该期间仍然亏损。因此，看起来在熊市中，当杠杆预计会放大亏损时，vovo 策略并不比指数更差。但它们也不会把熊市变成牛市。
5.6 牛市表现
1994 年 12 月 9 日至 2000 年 3 月 24 日是一个牛市，S&P 500 指数从 446.96 上升到 1527.46，年化收益率为 26.11%。Figure 16 显示，vovo 策略跑赢了指数，但幅度不大。原因可能是这一时期波动率和 vovo 都较低。vovo 策略没有太多 vovo 可以利用。
5.7 1987 年崩盘保护
我们关注 1987 年崩盘的两个方面：这些策略是否保护了投资组合免受崩盘下行影响，以及这次崩盘是否接近使策略归零？
Table 4 显示了策略在崩盘前一天确定的杠杆，这些杠杆本可以在崩盘当天成功使用。可以看到，这些策略大幅降低了崩盘后一天的杠杆，因此在某种程度上，它们像恐慌的投资者一样作出反应，并错过了次日反弹的一部分。
策略 杠杆 杠杆 1987 年 10 月 19 日 1987 年 10 月 20 日 CVS 0.455 0.160 OVS 0.152 0.019 MOS 0.568 0.256 OVPMS 0.034 0.002 OVPMS+ 0.058 0.003
Table 4：策略的特殊杠杆值
但这里的重点是，所有策略都预见到了崩盘，并大幅降低了对崩盘的敞口，从而总体上相对市场从崩盘中获益。我们在这里得出的任何结论都构成数据折磨，因为这次崩盘是一次性事件，并且由于此后采取的措施（例如当市场波动过大时关闭市场），它希望不太可能再次重复。
5.8 只做多、最大杠杆为 1 的投资组合
我们的 vovo 策略没有限制所施加的杠杆量，但我们需要考察，当它们被限制在最大杠杆为一时表现如何。Figure 17 显示了 1984 至 2009 年 Dow Jones Industrial Average 的结果。将最大杠杆设为一意味着策略的波动率不能超过指数的波动率。因此，我们只显示图中位于指数波动率左侧的区域。
最有趣的结果是，我们的收益降低到约等于指数收益。这也许是可以预期的，因为我们的超额收益来自在有利市场中平均杠杆大于一，因此最大杠杆为一会将平均杠杆降至一以下。不过，这并不是一条定律。通过在指数表现不佳时降低杠杆，平均收益可以超过指数收益。对于一些指数，例如 NASDAQ 100（为简洁起见省略），收益确实超过了指数收益。但幅度不大。实际杠杆和平均杠杆的限制确实会影响策略收益。图表显示，我们可以将年化波动率大约减半至约 0.1，同时略微提高收益。因此，这些策略对传统投资组合的影响很可能是降低波动率，而不是提高收益。
6 结论与进一步研究方向
收益并不容易预测，但波动率可以预测。通过允许杠杆投资，我们引入了一个依赖波动率的复合收益公式，从而将可预测性引入收益。我们识别出来自波动率可预测性的三个 alpha 来源：
通过分配杠杆而不增加整体投资组合波动率所允许的额外整体杠杆
收益与波动率之间的关系，以及在收益更高时使用额外杠杆
1987 年崩盘前的去杠杆
我们引入了三种简单直观的投资策略，它们利用这些来源，在我们测试的各类市场中产生 alpha。这三种策略是：常数波动率策略（Constant Volatility Strategy, CVS），它通过预测波动率并设置杠杆值以达到目标，从而旨在实现恒定的日波动率；最优波动率策略（Optimal Volatility Strategy, OVS），它将每日杠杆设为与预测波动率平方成反比；以及最优波动率加均值策略（Optimal Volatility Plus Mean Strategy, OVPMS），它将预期收益估计为波动率的幂函数，并将每日杠杆设为预期收益除以预测波动率平方。
这三种策略都设法获得了杠杆的上行收益而避免了下行弊端：它们在牛市和横盘市场中产生超额收益，在熊市中不比市场更差。如果它们被限制为杠杆不超过一，那么它们能够在不显着降低收益的情况下大幅降低投资组合波动率。而且，三种策略都降低了投资组合的波动率的波动率，使投资组合管理人能够有意识地寻求比通常更高的波动率。
按风险调整收益衡量，策略表现从低到高的顺序是 CVS、OVS、OVPMS。但在这三种策略中，我们偏好的反而是表现最差的 CVS。我们偏好它，是因为：
它允许我们追求一个可以写入招募说明书的指定恒定目标波动率，并且在实践中，实现波动率远比市场和其他策略更稳定。
它通常杠杆低于 3，因此在所有策略中具有最低的最大风险（以及最低的破产概率），并且可以使用现有 3x 杠杆 ETF 实施。
当以投资组合生命周期内最大波动率衡量时（按平均波动率加上两倍波动率标准差衡量），它具有最佳收益特征。
它产生的日收益在所有策略中峰度最低。
有人说，分散化是投资中唯一的免费午餐。看起来，一旦你通过分散化消除了一部分风险，你还可以通过平滑剩余风险再得到一顿免费午餐。以下小节讨论当前正在研究的几个进一步研究方向。
6.1 多资产模型
我们只详细考察了股票市场指数的波动率，这是一个单变量情形。当我们考虑多资产时，不仅会有波动率，还会有收益之间的相关性。于是公式（2）变为 k = Σ⁻¹ μ，其中 Σ 是方差-协方差矩阵，k 和 μ 是向量。我们可以考虑使用多变量 EGARCH 模型来估计 Σ。
6.2 波动率变化与收益的相互作用
我们忽略了波动率变化与收益之间的关系。我们只在收益与波动率绝对水平相关的范围内估计收益，而不是估计其与波动率变化的关系。但有证据表明，收益与波动率变化高度负相关，并且其关系比方程（3）给出的 γ 更复杂。例如，Bouchaud、Matacz 和 Potters（2001）在其“Retarded Volatility Model”中发现，个股的相关效应适中，并在 50 天内衰减，而股票指数的相关效应要强得多，但衰减更快。
6.3 对技术交易规则的含义
上述分析研究的是作为买入并持有策略叠加层的动态杠杆。但一些使用零或一杠杆的投资策略（例如使用技术交易规则的策略）无法使用动态杠杆叠加层。一个例子是这样一种策略：当市场高于其 200 日移动平均线时进入市场（杠杆为一），否则退出市场（杠杆为零）。对于这些策略，波动率叠加层必须转换为对现有择时信号的修改，或对零和一杠杆值的修改（仓位规模）。为实现这一点，技术规则必须被表示在一个可以利用波动率可预测性的框架中。这是一个有趣的研究领域。
参考文献
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